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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mo 16.01.2012 | | Autor: | atseaa |
| Aufgabe | Gegegen sei die von den Parametern [mm] a,b\in\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} [/mm] abhängige [mm] MatrixA=\left(\begin{array}{ccc}
-a & ab & a+b\\
0 & b & ab\\
0 & ab & b\end{array}\right)
[/mm]
(a) Für welche Paare (a,b) ist 0 ein Eigenwert von A?
(b) Bestimmen sie a so, dass A die Eigenwerte 0 und 1 hat. Für welche b gibt es einen weiteren Eigenwert?
(c) Gibt es a und b so, dass A einen nicht-reellen Eigenwert hat?
(d) Bestimmen Sie die Eigenräume der Matrix A in Abhängigkeit von a und b. |
Hallo,
mir ist nicht so ganz klar, ob das korrekt ist:
Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms:
[mm] X_{A}(\lambda)=det(A-\lambda\cdot E_{3})=det\left(\begin{array}{ccc}
-a-\lambda & ab & a+b\\
0 & b-\lambda & ab\\
0 & ab & b-\lambda\end{array}\right)=(-a-\lambda)(b-\lambda)(b-\lambda)-(-a-\lambda)(ab)(ab)
[/mm]
zu (a)
Jetzt setze ich als unseren Eigenwert [mm] \lambda=0 [/mm] und das Polynom ebenso: [mm] 0=a^{3}b^{2}-ab^{2}
[/mm]
Wie bekomme ich mit diesem Ausdruck jetzt raus, für welches a und b die Gleichung gilt?
Wenn ich die so angucke, dann müssten die Lösungen sein:
(a=0,b),(a=-1,b),(a=1,b) sowie für (a,b=0)
Ist das korrekt? Gibts da eine andere Möglichkeit außer scharf nachdenken um auf die Lösungen zu kommen?
zu (b)
Ansatz ist: Setzte [mm] \text{\ensuremath{\lambda}=1} [/mm] in die Gleichung des charakteristischen Polynoms. Es kommt heraus:
[mm] X_{A}(\lambda=1)=a^{2}b^{2}+a^{3}b^{2}-ab^{2}-b^{2}+2ab+2b-a-1
[/mm]
Jetzt suche ich mir ein a aus (a) heraus, der Einfachheit halber a=0. Damit: [mm] X_{A}(1)=-b^{2}+2b-1
[/mm]
Damit lässt sich dann wieder über die Nullstellen ausrechnen, dass es für [mm] b_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{0}}{-2}=1 [/mm] einen weiteren Eigenwert gibt.
zu (c)
Vermutlich gibt es schon ein a oder b, wodurch in der p,q-Formel dann eine negative Wurzel entsteht, aber wie komme ich darauf? Einsetzen und ausprobieren dürfte zu lange dauern...
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Hallo atseea,
> Gegegen sei die von den Parametern
> [mm]a,b\in\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\}[/mm] abhängige
> [mm]MatrixA=\left(\begin{array}{ccc}
-a & ab & a+b\\
0 & b & ab\\
0 & ab & b\end{array}\right)[/mm]
>
> (a) Für welche Paare (a,b) ist 0 ein Eigenwert von A?
>
> (b) Bestimmen sie a so, dass A die Eigenwerte 0 und 1 hat.
> Für welche b gibt es einen weiteren Eigenwert?
>
> (c) Gibt es a und b so, dass A einen nicht-reellen
> Eigenwert hat?
>
> (d) Bestimmen Sie die Eigenräume der Matrix A in
> Abhängigkeit von a und b.
> Hallo,
>
> mir ist nicht so ganz klar, ob das korrekt ist:
>
> Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen
> Polynoms:
>
> [mm]X_{A}(\lambda)=det(A-\lambda\cdot E_{3})=det\left(\begin{array}{ccc}
-a-\lambda & ab & a+b\\
0 & b-\lambda & ab\\
0 & ab & b-\lambda\end{array}\right)=(-a-\lambda)(b-\lambda)(b-\lambda)-(-a-\lambda)(ab)(ab)[/mm]
>
> zu (a)
>
> Jetzt setze ich als unseren Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] und das
> Polynom ebenso: [mm]0=a^{3}b^{2}-ab^{2}[/mm]
>
> Wie bekomme ich mit diesem Ausdruck jetzt raus, für
> welches a und b die Gleichung gilt?
>
> Wenn ich die so angucke, dann müssten die Lösungen sein:
>
> (a=0,b),(a=-1,b),(a=1,b) sowie für (a,b=0)
>
Der Fall a=0 ist doch ausgeschlossen.
> Ist das korrekt? Gibts da eine andere Möglichkeit außer
> scharf nachdenken um auf die Lösungen zu kommen?
>
> zu (b)
>
> Ansatz ist: Setzte [mm]\text{\ensuremath{\lambda}=1}[/mm] in die
> Gleichung des charakteristischen Polynoms. Es kommt
> heraus:
>
> [mm]X_{A}(\lambda=1)=a^{2}b^{2}+a^{3}b^{2}-ab^{2}-b^{2}+2ab+2b-a-1[/mm]
>
> Jetzt suche ich mir ein a aus (a) heraus, der Einfachheit
> halber a=0. Damit: [mm]X_{A}(1)=-b^{2}+2b-1[/mm]
>
Auch hier, a=0 ist ausgeschlossen.
> Damit lässt sich dann wieder über die Nullstellen
> ausrechnen, dass es für [mm]b_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{0}}{-2}=1[/mm]
> einen weiteren Eigenwert gibt.
>
> zu (c)
>
> Vermutlich gibt es schon ein a oder b, wodurch in der
> p,q-Formel dann eine negative Wurzel entsteht, aber wie
> komme ich darauf? Einsetzen und ausprobieren dürfte zu
> lange dauern...
>
Versuche das charakteristische Polynom in Faktoren zu zerlegen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mo 16.01.2012 | | Autor: | atseaa |
Also nochmal zu (a):
Für den Eigenwert [mm] \lambda=0 [/mm] nimmt das charakteristische Polynom diesen Wert an: [mm] X_{A}(0)=a^{3}b^{2}-ab^{2}
[/mm]
Durch ausprobieren und mutmaßen komme ich auf die Lösungen (a=0,b) , (a=-1,b) , (a=1,b) und (a,b=0)
Wobei die Lösungen, wo a oder b gleich 0 wird, ausgeschlossen werden. Damit bleiben übrig: [mm] (a=\pm1,b).
[/mm]
Damit ist die (a) fertig.
(b)
Ich gehe genau so wie vorhin vor:
Ansatz ist: Setzte [mm] \text{\ensuremath{\lambda}=1} [/mm] in die Gleichung des charakteristischen Polynoms. Es kommt heraus:
[mm] X_{A}(\lambda=1)=a^{2}b^{2}+a^{3}b^{2}-ab^{2}-b^{2}+2ab+2b-a-1
[/mm]
Jetzt suche ich mir ein a aus (a) heraus, der Einfachheit halber a=1. Damit: [mm] X_{A}(1)=4b
[/mm]
In der Aufgabe steht noch die Frage, für welche b es einen weiteren Eigenwert gibt. Die Nullstelle dieser Funktion wäre bei b=0 , das ist aber nicht definiert. Also gibt es keinen weiteren Eigenwert für b.
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> Also nochmal zu (a):
>
> Für den Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] nimmt das charakteristische
> Polynom diesen Wert an: [mm]X_{A}(0)=a^{3}b^{2}-ab^{2}[/mm]
>
> Durch ausprobieren und mutmaßen komme ich auf die
> Lösungen (a=0,b) , (a=-1,b) , (a=1,b) und (a,b=0)
Hallo,
hier muß man nicht ausprobieren und mutmaßen.
Es ist [mm] X_A(0)=a^3b^2-ab^2=ab^2(a^2-1)=ab^2(a-1)(a+1), [/mm]
und damit kann man sicher sein, daß die gefundenen Lösungen [mm] a=\pm [/mm] 1, b beliebig die einzigen sind.
>
> Wobei die Lösungen, wo a oder b gleich 0 wird,
> ausgeschlossen werden. Damit bleiben übrig: [mm](a=\pm1,b).[/mm]
>
> Damit ist die (a) fertig.
>
> (b)
>
> Ich gehe genau so wie vorhin vor:
>
> Ansatz ist: Setzte [mm]\text{\ensuremath{\lambda}=1}[/mm] in die
> Gleichung des charakteristischen Polynoms. Es kommt
> heraus:
>
> [mm]X_{A}(\lambda=1)=a^{2}b^{2}+a^{3}b^{2}-ab^{2}-b^{2}+2ab+2b-a-1[/mm]
Sofern [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert ist, muß dies =0 sein.
>
> Jetzt suche ich mir ein a aus (a) heraus, der Einfachheit
> halber a=1.
Was heißt "Der Einfachheit halber"?
Du mußt doch sowohl a=1 als auch a=-1 prüfen.
> Damit: [mm]X_{A}(1)=4b[/mm] für a=1.
Ich bekomme für a=1 [mm] X_A(1)=4b-2.
[/mm]
Wiemuß b also sein, damit 1 ein Eigenwert ist?
Und nun mußt Du schauen, ob das charakteristische Polynom für diese Werte von a,b eine weitere Nullstelle hat.
Jetzt müßtest Du mal prüfen, wie die Sache für a=-1 ausschaut.
> In der Aufgabe steht noch die Frage, für welche b es einen
> weiteren Eigenwert gibt.
S.o. für die gefundenen a,b guckst Du, ob das charakteristische Polynom eine weitere, von 0 und 1 verschiedene Nullstelle hat.
LG Angela
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