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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:21 Mi 16.05.2012 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | Alle Eigenwerte und alle Eigenvektoren der Matrix
[mm]A=\pmat{ 8 & 3 & -6 \\
0 & 2 & 0 \\
6 & 2 & -4} [/mm] bestimmen. |
Hallo, ich bin mir unsicher bei meiner Lösung für die Eigenwerte, deshalb habe ich gar nicht die Eigenvektoren berechnet. Vielleicht bekommen wir das ja zusammen hin...
Das sind meine Eigenwerte:
Gleichung [mm]det(A-\lambda E)=0[/mm] wird gelöst:
Nach Entwicklung der 2. Zeile entsteht die Gleichung
[mm]\vmat{ 8-\lambda & 3 & -6 \\
0 & 2-\lambda & 0 \\
6 & 2 & -4-\lambda }=(2-\lambda)\cdot\vmat{ 8-\lambda & -6 \\
6 & -4-\lambda }=(2-\lambda)(\lambda^2-4\lambda-20)=0 [/mm]
Dann komme ich auf die Eigenwerte [mm]\lambda_1=2, \ \ \lambda_{2/3}=2\pm \wurzel{24}[/mm]
könntet Ihr das eventuell überprüfen?
Ich würde dann die Lösung für die Eigenvektoren angehen, wenn diese Werte korrekt sind.
P.S.: Sehe ich das richtig, dass es dann 3 Eigenvektoren gibt? Oder darf man das so nicht behaupten?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:12 Mi 16.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine eigenwertgl ist falsch, wie kommst du auf die -20 in der Klammer? rechne nach. ja zu den 3 EW solltest du 3 eigenvektoren finden (alle vielfachen davon sind auch EV)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:14 Mi 16.05.2012 | | Autor: | lzaman |
Sorry, du hast volkommen recht, ich habe mich verrechnet.
Korrektur ergibt:
[mm]\vmat{ 8-\lambda & 3 & -6 \\
0 & 2-\lambda & 0 \\
6 & 2 & -4-\lambda }=(2-\lambda)\cdot\vmat{ 8-\lambda & -6 \\
6 & -4-\lambda }=(2-\lambda)(\lambda^2-4\lambda+4)=(2-\lambda)(\lambda-2)^2=0[/mm]
Eigenwerte sind dann [mm]\lambda_{1/2/3}=2[/mm], richtig?
Oh man ich sehe schon, ein Sonderfall!
Ich versuche mal trotzdem die Eigenvektoren mit meinen Kentnissen zu bestimmen:
Zu [mm]\lambda=2[/mm] gehörige Eigenvektoren lösen das LGS [mm](A-2E)\vec{x}=0[/mm], also
[mm]\pmat{ 8-2 & 3 & -6 \\
0 & 2-2 & 0 \\
6 & 2 & -4-2}\vec{x}=\pmat{6 & 3 & -6 \\
0 & 0 & 0 \\
6 & 2 & -6}\vec{x}=0[/mm]
Umformung [mm](Z_3:=Z_3-Z_1)[/mm] und dann [mm]Z_2[/mm] mit [mm]Z_3[/mm] tauschen:
[mm]\pmat{6 & 3 & -6 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0}\vec{x}=0[/mm]
Hier komme ich nicht weiter....
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:32 Mi 16.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch x2=0, x1=x3
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:37 Mi 16.05.2012 | | Autor: | lzaman |
Das heißt dann, dass alle Eigenvektoren [mm]\vec{x}=\alpha \cdot (1,0,1)^T[/mm] die Gleichung lösen?
Natürlich gilt [mm]\alpha\neq 0[/mm]!
Danke
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> Das heißt dann, dass alle Eigenvektoren [mm]\vec{x}=\alpha \cdot (1,0,1)^T[/mm]
> die Gleichung lösen?
>
> Natürlich gilt [mm]\alpha\neq 0[/mm]!
Hallo,
ja, genau.
All diese Vektoren sind Eigenwerte, und [mm] \vektor{1\\0\\1} [/mm] ist eine Basis des Eigenraumes zum Eigenwert 2.
LG Angela
>
> Danke
>
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 06:43 Mi 16.05.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
angela hat nen Tipfehler, eine Basis ist [mm] (1,0,1)^T [/mm] nicht [mm] (1,0,0)^T
[/mm]
Gruss leduart
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