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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Di 06.07.2004
Autor: maik2004

Hallo.

Ich habe folgende Matrix A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]

Davon soll ich die Eigenwerte und eigenvektoren bestimmen.
Meine Ergebnisse sind: [mm] x_1 [/mm] = 1 + 2 = 3 , [mm] x_2 [/mm] = 1 - 2 = -1 für die Eigenwerte und für den Eigenvektor
(A,3) = [mm] \alpha [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
bin mir aber nicht sicher ob das so richtig ist.
Nun sollen wir mit dieser Matrix noch etwas machen.
Wir sollen ein S [mm] \in [/mm] Gl(2) bestimmen, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] Diagonalgestalt hat.
Da weiss ich nicht wie ich da herangehen soll.
Vielen dank schon einmal für eure Hilfe.

mfg Maik
p.s.: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

        
Bezug
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 Di 06.07.2004
Autor: Paulus

Hallo Maik
> Hallo.
>  
> Ich habe folgende Matrix A = [mm]\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm]
>  
> Davon soll ich die Eigenwerte und eigenvektoren
> bestimmen.
>  Meine Ergebnisse sind: [mm]x_1[/mm] = 1 + 2 = 3 , [mm]x_2[/mm] = 1 - 2 = -1

[ok]

> für die Eigenwerte und für den Eigenvektor
> (A,3) = [mm]\alpha[/mm] * [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]

[notok] Soll diese Schreibweise bedeuten: Zum Eigenwert $3$ gehört der [mm] Eigenvektor$\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm]

Dann stimmt das nicht. Zur Probe kannst du doch einfach deine gegebene Matrix auf diesen Vektor wirken lassen. Er müsste sich dann um den Faktor $3$ strecken. Das ist aber nicht der Fall! ;-)

Wie hast du denn diesen Eigenvektor berechnet?

Man muss doch einfach die Gleichungssysteme

[mm] $\begin{pmatrix}(1-\lambda)&4\\1&(1-\lambda)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ [/mm]

lösen, wobei für [mm] $\lambda$ [/mm] jeder Eigenwert einzeln einzusetzen ist. (Also einmal mit [mm] $\lambda [/mm] = 3$ für alle [mm] $\lambda$ [/mm] in der Matrix, und dann das Ganze nochmals für [mm] $\lambda [/mm] = -1$)

So solltest du dann auch 2 unterschiedliche Eigenvektoren erhalten, für jeden Eigenwert einen zum jeweiligen Eigenwert gehörenden. :-)

Ich denke, du berechnest vorerst mal mit obiger Methode die beiden Eigenvektoren, und dann schreiten wir zum weiteren Teil deiner Aufgabe.

Mit lieben Grüssen

Bezug
                
Bezug
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:18 Mi 07.07.2004
Autor: maik2004

hmmm
Also entweder ist es schon zu spät oder ich bin einfach unfähig was das Rechnen betrifft :(
Ich komm wieder auf solche Werte.
Als Eigenvektor für -1 bekomme ich  [mm] (A,-1)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
und für 3 komme ich jetzt ebenfalls auf [mm] (A,3)=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Also ich geh mal schwer davon aus, dass ich mich wieder irgendwo verrechnet habe, oder sollten diese Werte doch stimmen?
Bin gerade ein wenig verzweifelt :(
Ich habs jetzt 3 mal gerechnet und komme immer wieder auf die Werte.

mfg maik

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:08 Mi 07.07.2004
Autor: e.kandrai

Vorsicht: wenn man sich auf die Suche nach Eigenvektoren macht, dann sollen das immer Vektoren sein, die nicht der Nullvektor sind. D.h., wenn du in die Gleichung, die auch Paulus gepostet hat, einen Eigenwert einsetzt, dann muss mittels Gauß-Umformungen immer mindestens eine Zeile rausfallen! Und so bekommst du dann einen Nicht-Nullvektor, der die Gleichung trotzdem löst, und das ist dann der Eigenvektor.
Und Paulus hat recht, dein Eigenvektor zum EW 3 stimmt nicht. Ist sehr ähnlich, also nur knapp vorbei ;-)
Die Matrix S, um die es da geht, wird dann aus deinen beiden Eigenvektoren bestehen. Wenn du sie dann invertierst, und in diese gegebene Gleichung einsetzt, dann wirst du wohl ne Überraschung erleben, wenn du dich nicht verrechnest (guck dir dann am Ende einfach mal diese Diagonalgestalt an, und dann nochmal deine Eigenwerte).

Bezug
                        
Bezug
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:10 Mi 07.07.2004
Autor: Paulus

Hallo Maik

vermutlich war es wirklich etwas spät für dich. Ich hoffe, dass du jetzt wieder ausgeschlafen bist. ;-)

Mit wachen Sinnen wirst du sicher mein folgendes Beispiel mit Leichtigkeit nachvollziehen können und dann mit dem anderen Eigenwert das Gleiche selber machen können.

Ich machs mal mit dem Eigenwert $3$. Mit $-1$ wirst es dann du versuchen? Vorsicht: $-(-1)=+1$ ;-)

Die zu lösende Gleichung ist also:

[mm] $\begin{pmatrix}(1-\lambda)&4\\1&(1-\lambda)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ [/mm]

wobei für [mm] $\lambda$ [/mm] der Wert $3$ einzusetzen ist:

[mm] $\begin{pmatrix}(-2&4\\1&-2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ [/mm]

Dies führt zu Folgendem:
[mm] $\begin{vmatrix}-2&4&\mid 0\\1&-2&\mid 0\end{vmatrix}$ [/mm]

1. Zeile durch $-2$ dividieren:
[mm] $\begin{vmatrix}1&-2&\mid 0\\1&-2&\mid 0\end{vmatrix}$ [/mm]

1. Zeile von der 2. Zeile subtrahieren:
[mm] $\begin{vmatrix}1&-2&\mid 0\\0&0&\mid 0\end{vmatrix}$ [/mm]

2. Zeile "vergessen":
[mm] $\begin{vmatrix}1&-2&\mid 0\end{vmatrix}$ [/mm]

Wenn das nicht eine Geradengleichung ist!! (Gerade durch den Ursprung, wie es sich für ein homogenes lineares Gleichungssystem ziemt) ;-)

Da kann man doch einfach mal für die 2. Unbekannte den Wert $1$ setzen und nach der 1. Unbekannten auflösen:

Dies führt zu $x=2$ und $y=1$

Somit wäre wohl ein Eigenvektor zum Eigenwert $3$: [mm] $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ [/mm]

Eine kleine Kontrolle:
[mm] $\begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}6\\3\end{pmatrix}$ [/mm]

Der Eigenvektor streckt sich tatsächlich um den Faktor 3! :-)

Kannst du das bitte mit dem Eigenwert $-1$ auch mal versuchen?

Mit lieben Grüssen

Bezug
                                
Bezug
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Mi 07.07.2004
Autor: tine

Hallo,
also ich hab für die Eigenvektoren folgendes raus:
für Eigenwert 3   [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] ( wie so schön erklärt, vielen Dank!!!)
und für Eigenwert -1   [mm] \vektor{-2 \\ 1} [/mm]

Aber mit dem Rest der Aufgabe komm ich auch nicht klar!! Das heißt ein S  [mm] \in [/mm] Gl (2)  so dass [mm] S^{-1} [/mm] AS Diagonalgestalt hat.

Kann mir da jemand helfen, wär lieb!!!

Liebe Grüße

Tine

Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:00 Mi 07.07.2004
Autor: Paulus

Hallo Tine

> Hallo,
>  also ich hab für die Eigenvektoren folgendes raus:
>  für Eigenwert 3   [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] ( wie so schön erklärt,
> vielen Dank!!!)
>  und für Eigenwert -1   [mm]\vektor{-2 \\ 1} [/mm]
>  

Hast du diesen Vektor denn überprüft, ob er die Bedingung erfüllt, ein Eigenvektor zum Eigenwert $-1$ zu sein? Ich schon! Und mein Ergebnis: du hast Recht!! Es ist ein Eigenvektor! ;-)

> Aber mit dem Rest der Aufgabe komm ich auch nicht klar!!
> Das heißt ein S  [mm]\in[/mm] Gl (2)  so dass [mm]S^{-1}[/mm] AS
> Diagonalgestalt hat.
>  
> Kann mir da jemand helfen, wär lieb!!!
>  

Also: wenn man die Eigenwerte als neue Basis des Vektorraumes nimmt, dann sollte die Abbildungsmatrix eine recht einfache Form erhalten, nämlich logischerweise eine Diagonalform mit den Eigenwerten in der Diagonale.

Somit brauchen wir eine Basistransformation: den 1. Basisvektor bilden wir auf den 1. Eigenvektor ab, den 2. Basisvektor auf den 2. Eigenvektor. Wir können also einfach die Eigenvektoren als Spalten der Transformationsmatrix $S$ einsetzen. Also:
[mm] $S=\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}$ [/mm]

Das ist bereits die gesuchte Matrix $S$.

Davon musst du nur noch die inverse Matrix berechnen und überprüfen, ob durch Matrixmultiplikation [mm] $S^{-1}*A*S$ [/mm] tatsächlich eine Diagonalmatrix entsteht (Mit den Diagonalelementen $3$ und $-1$)

Mit lieben Grüssen


Bezug
                                        
Bezug
Eigenwerte und Eigenvektoren einer Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:03 Mi 07.07.2004
Autor: maik2004

ja genau dass habe ich jetzt endlich auch raus tine.
nun nimmst du die beiden eigenvektoren und baust daraus ne matrix.
diese matrix S invertierst du (du erhälst [mm] S^{-1} [/mm] ) und multiplizierst sie mit der matrix A.
das ergebniss davon multiplizierst du mit der matrix S und du wirst eine überraschung erleben ^^


habe gerade festgestellt, dass der liebe paulus schneller als ich war :(
und besten dank an alle die mir geholfen haben und so viel geduld mit mir hatten :)

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