Eigenwerte von A² < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1.) Vorraussetzungen: Die Matrix A (n*n) hat k Einsen auf pro Zeile, nur Nullen auf der Diagonalen und ist symmetrisch. A² hat überall Einsen, nur auf den Diagonalen steht nur k. Es gilt n=k²+k-1
Die Matrix A² lässt sich schreiben als A²=(k-1)*I+J. Dabei ist I die Einheitsmatrix und J die Matrix nur mit Einsen. Alle haben die Größe n*n.
a.) Die Eigenwerte von J sind n mit Vielfachheit 1 und 0 mit Vielfachheit n-1. Warum?
b.) Was gilt nun für die Eigenwerte von A²?
c.) Was gilt dann für die Eigenwerte von A? |
Hallo.
Leider habe ich überhaupt keinen Ansatz, wie ich da rangehen soll (das ganze ist ein Zwischenschritt aus einem Beweis, den ich verstehen muss), da ich leider in LA nicht mehr ganz so fit bin.
Das Einzige was ich noch weiß ist (c), weil die Eigenwerte von A² genau die die Eigenwerte von A ins Quadrat sind.
Zu (a): "Die Eigenwerte von J sind n" -> heißt das J hat die Eigenwerte 1,2,3,4...,n jeweils 1 Mal? Warum?
Und warum sollte es dann noch 0 als (n-1)fachen Eigenwert haben?
Zu (b): Lassen sich die Eigenwerte von I und J irgendwie zu denen von A² zusammensetzen?
Wäre echt super wenn mir jemand helfen könnte 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Di 25.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> 1.) Vorraussetzungen: Die Matrix A (n*n) hat k Einsen auf
> pro Zeile, nur Nullen auf der Diagonalen und ist
> symmetrisch. A² hat überall Einsen, nur auf den Diagonalen
> steht nur k. Es gilt n=k²+k-1
>
> Die Matrix A² lässt sich schreiben als A²=(k-1)*I+J. Dabei
> ist I die Einheitsmatrix und J die Matrix nur mit Einsen.
> Alle haben die Größe n*n.
>
> a.) Die Eigenwerte von J sind n mit Vielfachheit 1 und 0
> mit Vielfachheit n-1. Warum?
> b.) Was gilt nun für die Eigenwerte von A²?
> c.) Was gilt dann für die Eigenwerte von A?
> Hallo.
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> Leider habe ich überhaupt keinen Ansatz, wie ich da
> rangehen soll (das ganze ist ein Zwischenschritt aus einem
> Beweis, den ich verstehen muss), da ich leider in LA nicht
> mehr ganz so fit bin.
>
> Das Einzige was ich noch weiß ist (c), weil die Eigenwerte
> von A² genau die die Eigenwerte von A ins Quadrat sind.
>
> Zu (a): "Die Eigenwerte von J sind n" -> heißt das J hat
> die Eigenwerte 1,2,3,4...,n jeweils 1 Mal? Warum?
Nein, das bedeutet: $J$ hat den Eigenwert $n$, und zwar einmal. Ein zugehoeriger Eigenvektor ist [mm] $\pmat{ 1 \\ \vdots \\ 1 }$.
[/mm]
> Und warum sollte es dann noch 0 als (n-1)fachen Eigenwert
> haben?
Probier es doch mal aus: du nimmst einen Vektor, der an erster Stelle eine 1 und an einer anderen Stelle eine -1 hat, und sonst nix. Davon gibt es $n - 1$ Stueck, und jeder ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 0.
> Zu (b): Lassen sich die Eigenwerte von I und J irgendwie zu
> denen von A² zusammensetzen?
Ja. Zeige, dass die Eigenwerte von [mm] $A^2 [/mm] = (k - 1) I + J$ gerade von der Form $(k - 1) + [mm] \lambda$ [/mm] sind, wobei [mm] $\lambda$ [/mm] die Eigenwerte von $J$ durchlaeuft (bzgl. den gleichen Eigenvektoren!).
Und von [mm] $A^2$ [/mm] kommst du auf die (moeglichen) Eigenwerte von $A$, indem du beachtest: [mm] $\lambda$ [/mm] Eigenwert von $A$ [mm] $\Rightarrow$ $\lambda^2$ [/mm] Eigenwert von [mm] $A^2$. [/mm] Und ueberleg dir, wie das mit den Vielfachheiten aussieht.
LG Felix
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Hallo!
> > Zu (b): Lassen sich die Eigenwerte von I und J irgendwie zu
> > denen von A² zusammensetzen?
>
> Ja. Zeige, dass die Eigenwerte von [mm]A^2 = (k - 1) I + J[/mm]
> gerade von der Form [mm](k - 1) + \lambda[/mm] sind, wobei [mm]\lambda[/mm]
> die Eigenwerte von [mm]J[/mm] durchlaeuft (bzgl. den gleichen
> Eigenvektoren!).
>
damit komme ich nicht klar, warum sollte das so sein?
wäre klasse, wenn mir dazu jemand n Tipp geben könnte!
> Und von [mm]A^2[/mm] kommst du auf die (moeglichen) Eigenwerte von
> [mm]A[/mm], indem du beachtest: [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von [mm]A[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\lambda^2[/mm] Eigenwert von [mm]A^2[/mm]. Und ueberleg dir, wie das mit
> den Vielfachheiten aussieht.
>
Die Vielfachheiten sind gleich oder? Ich komm da zwar auf keine formale Begründung dafür, aber das müsste schon stimmen, oder? Mehr als n EW kann ja so ne Matrix dann eh nicht haben, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Do 27.11.2008 | | Autor: | felixf |
Moin
> > > Zu (b): Lassen sich die Eigenwerte von I und J irgendwie zu
> > > denen von A² zusammensetzen?
> >
> > Ja. Zeige, dass die Eigenwerte von [mm]A^2 = (k - 1) I + J[/mm]
> > gerade von der Form [mm](k - 1) + \lambda[/mm] sind, wobei [mm]\lambda[/mm]
> > die Eigenwerte von [mm]J[/mm] durchlaeuft (bzgl. den gleichen
> > Eigenvektoren!).
>
> damit komme ich nicht klar, warum sollte das so sein?
> wäre klasse, wenn mir dazu jemand n Tipp geben könnte!
Wenn $A [mm] \in \IC^{n \times n}$ [/mm] eine Matrix ist und $f [mm] \in \IC[x]$ [/mm] ein Polynom, so gilt [mm] $\{ f(\lambda) \mid \lambda \text{ Eigenwert von } A \} [/mm] = [mm] \{ \mu \mid \mu \text{ Eigenwert von } f(A) \}$.
[/mm]
In diesem Fall ist $f = k - 1 + x$ und [mm] $A^2 [/mm] = f(J)$, womit [mm] $f(\lambda) [/mm] = k - 1 + [mm] \lambda$ [/mm] ist.
> > Und von [mm]A^2[/mm] kommst du auf die (moeglichen) Eigenwerte von
> > [mm]A[/mm], indem du beachtest: [mm]\lambda[/mm] Eigenwert von [mm]A[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]\lambda^2[/mm] Eigenwert von [mm]A^2[/mm]. Und ueberleg dir, wie das mit
> > den Vielfachheiten aussieht.
> >
>
> Die Vielfachheiten sind gleich oder?
Nicht ganz.
Was du bekommst: die algebraische Vielfachheit vom Eigenwert [mm] $\lambda$ [/mm] von [mm] $A^2$ [/mm] ist gleich der Summe der alg. Vielfachheiten der Eigenwerte [mm] $-\sqrt{\lambda}$ [/mm] und [mm] $+\sqrt{\lambda}$ [/mm] von $A$.
Das gleiche gilt fuer die geometrischen Vielfachheiten.
(Wenn du es sehen willst: trigonalisiere $A$ ueber [mm] $\IC$, [/mm] oder nimm gleich die Jordansche Normalform, und schau an, wie [mm] $A^2$ [/mm] aussieht. Und zwar ohne konkrete Werte auszurechnen, sondern nur indem du die Theorie verwendest!)
> Ich komm da zwar auf
> keine formale Begründung dafür, aber das müsste schon
> stimmen, oder? Mehr als n EW kann ja so ne Matrix dann eh
> nicht haben, oder?
Exakt, die Summe der algebraischen Vielfachheiten aller Eigenwerte ist $n$.
LG Felix
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