Eigenwertproblem < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, habe ne Aufgabe:
Von einer 3x3 Matrix A ist bekannt, dass 1 und -2 Eigenwerte von A sind und dass det(A)=2. Bestimmen Sie den dritten EW.
wie kommen die dann auch -1 als dritten EW und wie kann man die det da mit einbeziehen?
danke
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Hallo das Liegt daran dass die Determinante einer Matrix das Produkt der Eigenwerte der Matrix ist. Wenn du zwei Faktoren schon kennst kannst du den dritten leicht ausrechnen in diesem Fall -1.
Einen schönen tach noch
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hi. vielen dank erstmal. dann nochmal zwei fragen.
wenn ich dann die spur der Matrix A berechnen will. muss ich dann einfach die EW addieren? Weil die kriegen als Spur -2 raus.
die andere frage, wenn man jetzt aus diesen angaben das char. polynom aufstellen muss, wie geht das?
denn die haben dann als char. polynom:
p(x)= [mm] -x^3 [/mm] - [mm] 2x^2 [/mm] + x + 2.
das zum schluss die det stehen muss, das weiß ich. aber bei dieses anderen Koeffizienten haben die ja einfach die EW genommen, aber woher weiß man, welcher Eigenwer an welcher stelle steht?
danke
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Hallo jaruleking,
> hi. vielen dank erstmal. dann nochmal zwei fragen.
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> wenn ich dann die spur der Matrix A berechnen will. muss
> ich dann einfach die EW addieren? Weil die kriegen als Spur
> -2 raus.
Ja, die Spur einer Matrix A ist die Summe ihrer Eigenwerte.
>
> die andere frage, wenn man jetzt aus diesen angaben das
> char. polynom aufstellen muss, wie geht das?
>
> denn die haben dann als char. polynom:
>
> p(x)= [mm]-x^3[/mm] - [mm]2x^2[/mm] + x + 2.
Da die Eigenwerte bekannt sind, läßt sich das charakteristische Polynom wie folgt darstellen:
[mm]p\left(x\right)=\left(x-\left(-1\right)\right)*\left(x-1\right)*\left(x-\left(-2\right)\right)[/mm]
Dieses Polynom hat dieselben Nullstellen, wie das in der Lösung angegebene.
Andererseits gilt:
[mm]p\left(x\right)=x^{3}-spur\left(A\right)*x^{2}+ \ \dots \ *x - det\left(A\right)[/mm]
>
> das zum schluss die det stehen muss, das weiß ich. aber bei
> dieses anderen Koeffizienten haben die ja einfach die EW
> genommen, aber woher weiß man, welcher Eigenwer an welcher
> stelle steht?
[mm]p\left(x\right)=\left(x-\lambda_{1}\right)*\left(x-\lambda_{2}\right)*\left(x-\lambda_{3}\right)[/mm]
[mm]=x^{3}-\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}\right)*x^{2}+\left(\lambda_{1}*\lambda_{2}+\lambda_{1}*\lambda_{3}+\lambda_{2}*\lambda_{3}\right)*x-\lambda_{1}*\lambda_{2}*\lambda_{3}[/mm]
>
> danke
Gruß
MathePower
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Hallo, habe nochmal kurz eine kleine frage zu EW.
und zwar heißt es ja, dass wenn [mm] A^2=A, [/mm] dass ist jeder Eigenwert von A entweder 0 oder 1.
Ich weiß jetzt genau, wie ich dieses entweder verstehen soll.
kann man solche Aussagen treffen. es gelte: [mm] A^2=A
[/mm]
1. immer wahr: [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] A hat immer nur einen EW
2. immer wahr: [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] A hat 0 als EW
3. immer wahr: [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] A hat 1 als EW
4. immer wahr: [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] A hat keine EW außer 0 und 1
5. immer falsch: [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] A hat 3 Eigenwerte
6. immer falsch: [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] A hat 0 und 1 als EW
ist das so korrekt?
danke für die Prüfung
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> Hallo, habe nochmal kurz eine kleine frage zu EW.
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> und zwar heißt es ja, dass wenn [mm]A^2=A,[/mm] dass ist jeder
> Eigenwert von A entweder 0 oder 1.
>
> Ich weiß jetzt genau, wie ich dieses entweder verstehen
> soll.
Hallo,
schön.
- Oder meinst Du vielleicht das Gegenteil von dem, was Du schreibst?
Für diesen Fall: es ist damit gemeint, daß, sofern A mit [mm] A^2=A [/mm] einen Eigenwert hat, dieser nur =0 oder =1 sein kann.
Du solltest Dich unbedingt darüber hermachen, die Aussage zu beweisen. Man interessiert sich mitunter dafür.
> kann man solche Aussagen treffen. es gelte: [mm]A^2=A[/mm]
>
> 1. immer wahr: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat immer nur einen EW
>
> 2. immer wahr: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat 0 als EW
>
> 3. immer wahr: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat 1 als EW
>
> 4. immer wahr: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat keine EW außer 0 und
> 1
>
> 5. immer falsch: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat 3 Eigenwerte
>
> 6. immer falsch: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat 0 und 1 als EW
>
> ist das so korrekt?
Nein.
Am besten teilst Du uns mal mit, was Du Dir so im einzelnen gedacht hast.
Kleine Beispiele, Gegenbeispiele, Überlegungen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:27 Mo 07.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
HI.
danke erstmal. meinst du mit:
"Für diesen Fall: es ist damit gemeint, daß, sofern A mit $ [mm] A^2=A [/mm] $ einen Eigenwert hat, dieser nur =0 oder =1 sein kann."
Also die Matrix A könnte dann nicht 0 und 1 zumsammen als EW haben, so versteh ich das richtig oder? Also entweder nur 0 oder nur 1.
kann man solche Aussagen treffen. es gelte: $ [mm] A^2=A [/mm] $
>
> 1. immer wahr: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat immer nur einen EW
>
> 2. immer wahr: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat 0 als EW
>
> 3. immer wahr: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat 1 als EW
>
> 4. immer wahr: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat keine EW außer 0 und
> 1
>
> 5. immer falsch: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat 3 Eigenwerte
>
> 6. immer falsch: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat 0 und 1 als EW
waren hier denn alle Aussagen falsch?
Also bei 1. würde ich bei der Aussage bleiben, immer wahr. da ja nur 1 oder 0 in frage kommen und nicht beide gleichzeitig.
2. und 3. sind somit manchmal falsch. Denn es ist keine Implikation. bei der z.b. ich kann ja [mm] A^2 [/mm] = A haben und 1 als EW, damit folgt nicht 0 als EW
4. und 5. müssten dann so auch korrekt sein.
und bei 6. da muss wohl immer falsch hin. denn es kann nur 0 ode 1 haben und nicht beide zusammen.
ist das so in ordnung?
gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Mo 07.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
$A = [mm] \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$.
[/mm]
grüße
andreas
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oh, das heißt ja, dass aussage 1 auch manchmal falsch ist.
und aussage 6 ist ja somit auch nicht immer falsch. aber es könnte falsch sein, also als antwort manchmal falsch.
ist es so jetzt richtig?
ich habe nämlich dieses wort entweder nicht ganz verstanden. denn zu erst dachte ich, dass es bedeutet man kann entweder nur 0 als EW haben oder nur 1 und nicht beide zusammen. aber im Beispiel von andreas gilt ja [mm] A^2=A [/mm] und A hat die EW 0 und 1 gleichzeitig. ist finde ich bisschen komisch in zusammenhang mit dem wort entweder.
gruß
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Hallo,
wie gesagt, schau Dir mal die gelieferten Matrizen und ihre Eigenwerte an.
> ich habe nämlich dieses wort entweder nicht ganz
> verstanden. denn zu erst dachte ich, dass es bedeutet man
> kann entweder nur 0 als EW haben oder nur 1 und nicht beide
> zusammen. aber im Beispiel von andreas gilt ja [mm]A^2=A[/mm] und A
> hat die EW 0 und 1 gleichzeitig. ist finde ich bisschen
> komisch in zusammenhang mit dem wort entweder.
Es können Matrizen mit [mm] A^2=A [/mm] die Eigenwert 0 oder 1 haben. Keinen anderen.
Ob nun beide Eigenwerte gleich sein müssen, oder ob sie gemischt sein können, kannst Du Dir durchs Konstrieren von Beispielen oder das Studium der Matrizen, die wir Dir gezeigt haben, erschließen.
Der obige Satz sagt:
[mm] \lambda [/mm] Eigenwert von A und [mm] A^2=A [/mm] ==> [mm] \lambda=0 [/mm] oder [mm] \lambda [/mm] =1.
Er sagt gar nichts über die Anzahl der Eigenwerte und darüber , ob die gleich oder verschieden sind.
Er sagt nur:
wenn man so eine Matrix hat mit [mm] A^2=A [/mm] und sie einen Eigenwert hat und man sich solch einen Eigenwert von A anschaut, dann kann dieser eine Eigenwert nur 1 oder 0 sein.
Ein Eigenwert kann ja nicht gleichzeitig 0 und 1 sein!
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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Hallo,
schau Dir andreas' Matrix an und vielleicht auch noch
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 },
[/mm]
und beleuchte Deine eigenen Fragen unter Betrachtung dieser Matrizen.
(Und vergiß nicht, den Beweis zu machen.)
Gruß v. Angela
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Hi. nochmal.
also zu deinen Beispielen:
1. [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \Rightarrow [/mm] EW nur 1
2. [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow [/mm] EW nur 0
2. [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow [/mm] EW 1 und 0
ich habe den beweis mir sehr einfach überlegt, es gilt ja [mm] A^2=A [/mm] und Av=x*v d.h. x ist EW von A und v ist ein EV zu x. dann gilt laut def.:
[mm] A^2*v=A*v=x*v [/mm] anders haben wir auch
[mm] A^2*v=A(A*v)=A(x*v)=x*A*v=x^2*v. [/mm] setzt man jetzt die beiden Gleichungen gleich, so folgt:
x*v = [mm] x^2*v [/mm] bzw. [mm] (x^2 [/mm] - x)*v=0. Da die Ev nicht als Nullvektor definiert sind, folgt:
[mm] 0=(x^2-x)=x*(x-1) \Rightarrow [/mm] die EW 0 und 1. q.e.d.
müsste doch alle so hinhauen, auch formal oder?
so dann zurück zu meinen ausgansaussagen:
1. manchmal falsch: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat immer nur einen EW
2. manchmal falsch: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat 0 als EW
3. manchmal falsch: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat 1 als EW
4. immer wahr: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat keine EW außer 0 und 1
5. immer falsch: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat 3 Eigenwerte
6. manchmal falsch: $ [mm] A^2=A \Rightarrow [/mm] $ A hat 0 und 1 als EW
so dieses mal müsste doch jetzt alles stimmen. d.h. die ganze zeit waren in meinen aussagen nur der punkt 4 richtig, rest war alles falsch, wenn ich es so betrachte.
gruß
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> Hi. nochmal.
>
> also zu deinen Beispielen:
>
> 1. [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \Rightarrow[/mm] EW nur 1
> 2. [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow[/mm] EW nur 0
> 2. [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow[/mm] EW 1 und 0
Genau. Wir haben da also alle möglichen Kombinationen, und für Matrizen größeren Formats gilt das ebenso - nicht etwa bloß für 2x2.
>
> ich habe den beweis mir sehr einfach überlegt, es gilt ja
> [mm]A^2=A[/mm] und Av=x*v d.h. x ist EW von A und v ist ein EV zu x.
> dann gilt laut def.:
>
> [mm]A^2*v=A*v=x*v[/mm] anders haben wir auch
>
> [mm]A^2*v=A(A*v)=A(x*v)=x*A*v=x^2*v.[/mm] setzt man jetzt die beiden
> Gleichungen gleich, so folgt:
>
> x*v = [mm]x^2*v[/mm] bzw. [mm](x^2[/mm] - x)*v=0. Da die Ev nicht als
> Nullvektor definiert sind, folgt:
>
> [mm]0=(x^2-x)=x*(x-1) \Rightarrow[/mm] die EW 0 und 1. q.e.d.
>
> müsste doch alle so hinhauen, auch formal oder?
Hallo,
den Beweis einleiten mußt Du etwas anders:
Sei A eine Matrix mit [mm] A^2=A [/mm] und sei x ein Eigenvektor von A. Dann gibt es ein [mm] v\not=0 [/mm] mit usw.
Der Rest ist richtig.
>
>
> so dann zurück zu meinen ausgansaussagen:
>
> 1. manchmal falsch: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat immer nur einen
> EW
Die Aussage ist nicht manchmal falsch, sondern sie ist falsch. Sie ist falsch, weil Du eine Gegenbeispiel dafür gefunden hast.
Die Tatsache, daß es auch Matrizen gibt, für die die Aussage richtig ist, ändert nichts daran, daß die Aussage in ihrer Gesamtheit falsch ist.
Ich werde das im Folgenden jetzt nicht jedesmal wieder erwähnen.
>
> 2. falsch: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat 0 als EW
genau. Oben hast Du ein Gegenbeispiel.
>
> 3. falsch: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat 1 als EW
Genau. Die Nullmatrix hat nämlich nicht den Eigenwert 1.
>
> 4. immer wahr: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat keine EW außer 0 und
> 1
Genau. Das hast Du oben bewiesen.
>
> 5. immer falsch: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat 3 Eigenwerte
§ verschiedene Eigenwerte kann es nicht geben.
>
> 6. falsch: [mm]A^2=A \Rightarrow[/mm] A hat 0 und 1 als EW
Genau.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Mo 07.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok danke.
gruß
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Hallo, ich habe nochmal kurz eine Frage zu EW, denn ich habe gerade folgenden Satz gelesen.
Sei dim V=n und f ein Endo. Seinen [mm] \lambda_1,....,\lambda_k [/mm] verschiedende EW von f. Dann sind folge Aussagen äquivalten:
1) f ist diagonalisierbar
2) [mm] P(x)=(\lambda_1 [/mm] - [mm] x)^{n_1} [/mm] ... [mm] (\lambda_k [/mm] - [mm] x)^{n_k} [/mm] und dim [mm] V_{\lambda_i }=n_i [/mm] für i=1,...,k
3) [mm] V=V*\lambda_1 \oplus [/mm] *** [mm] \oplus V*\lambda_k
[/mm]
Also 1 ist klar. 2 bei zwei ist doch gemeint, dass man jeweils verschiedene EW hat.
aber 3. versteh ich nicht so, was damit gemeint ist. Die dirkte Summe ist klar, das heißt, der Schnitt muss leer sein, aber in Bezug auf diagonalisierbar weiß ich nicht, was damit gemeint ist.
danke für hilfe.
gruß
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> Hallo, ich habe nochmal kurz eine Frage zu EW, denn ich
> habe gerade folgenden Satz gelesen.
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> Sei dim V=n und f ein Endo. Seinen [mm]\lambda_1,....,\lambda_k[/mm]
> verschiedende EW von f. Dann sind folge Aussagen
> äquivalten:
>
> 1) f ist diagonalisierbar
>
> 2) [mm]P(x)=(\lambda_1[/mm] - [mm]x)^{n_1}[/mm] ... [mm](\lambda_k[/mm] - [mm]x)^{n_k}[/mm]
> und dim [mm]V_{\lambda_i }=n_i[/mm] für i=1,...,k
Hallo,
da steht, daß das charakteristische Polynom zerfallen muß und die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte mit ihrer geometrischen übereinstimmen müssen, wenn die Matrix diagonalisierbar sein soll.
>
> 3) [mm]V=V{\lambda_1} \oplus[/mm] *** [mm]\oplus V{\lambda_k}[/mm]
Das sagt, daß bei Diagonalisierbarkeit die Summe der Eigenräume zu den verschiedenen Eigenwerten den kompletten V ergeben muß.
>
> Also 1 ist klar. 2 bei zwei ist doch gemeint, dass man
> jeweils verschiedene EW hat.
s.o.
Wenn des n verschiednene Eigenwerte gibt, müssen die jeweils die alg. Vielfachheit 1 haben, und die geometrische kann weder größer noch kleiner sein.
Gruß v. Angela
>
> aber 3. versteh ich nicht so, was damit gemeint ist. Die
> dirkte Summe ist klar, das heißt, der Schnitt muss leer
> sein, aber in Bezug auf diagonalisierbar weiß ich nicht,
> was damit gemeint ist.
>
> danke für hilfe.
> gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Di 08.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
ok danke
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