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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix :
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 1 } [/mm] |
Meine Frage geht eignetlich um das allgemeine Berechnen der Eigenwerte. Mein Problem ist nicht der Weg dahin, sondern eher die Klausurbedingungen!
Mit großer wahrscheinlichkeit werden wir die Eigenwerte von 3x3 Matrizen berechnen müssen.
Normalerweise hatte ich das immer über die Determinante und der Polynomdivision mit Raten einer Nullstelle gemacht was für mich auch immer gut Funktioniert hat! Das Raten ist aber in der Klausur ein Problem, denn wenn anstatt 1,-1 jetzt ich sag mal "blöde" Werte kommen die man nicht grad so errät hab ich ein Problem!
Unser Prof hat mal was gesagt von man könnte einfach die Determinante nach Sarrus berechnen und dann "einen Eigenwert Ausklammern" :
Hier mal mein Ansatz dazu :
Nach Sarrus komme ich auf :
(-1-x)(4-x)(1-x) - (2+2x)
Jetzt Klammere ich mit (1-x) aus und komme auf
(1-x) ((-1-x)(4-x) - 2+2x))
(1-x) (x²-x-6)
Für x²-x-6 komme ich auf die Eigenwerte 3 und -2 was aber laut meiner Lösung falsch ist?!?
Lg
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> In einer Klausur gibts doch immer ganzzahlige Nullstellen,
> dh. du musst "nur" die ganzzahligen Teiler des
> Absolutgliedes des char. Polynoms "testen"
>
Mein Char Polynom hier lautet ja :
x³ - 4x² + x + 6
Die ganzzahligen Teiler meines Absolutgliedes wären also hier 1,2 und 3?
Also Teste ich mit 1,2 und 3?
> Wieso das? 1-x kommt doch gar nicht in beiden Summanden
> vor??
Im ausklammern war ich schon immer schlecht :) Deswegen mag ich das mit der Polynomdivision lieber ;)
Kann deinen Weg jetzt schon nachvollziehn nur ich komm dann oft nicht drauf was ich am besten klammere...
> Klammere besser [mm](-1-x)[/mm] aus 
>
> Dann kommst du auf
> [mm](-1-x)\cdot{}\left[(4-x)(1-x)+2\right]=(-1-x)(x^2-5x-6)[/mm]
>
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Hallo Maria,
>
> > In einer Klausur gibts doch immer ganzzahlige Nullstellen,
> > dh. du musst "nur" die ganzzahligen Teiler des
> > Absolutgliedes des char. Polynoms "testen"
> >
> Mein Char Polynom hier lautet ja :
> x³ - 4x² + x + 6 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Die [mm] \red{\text{ganzzahligen}} [/mm] Teiler meines Absolutgliedes wären also
> hier 1,2 und 3?
und die Negativen davon
Du müsstest also [mm] $\{\pm1,\pm2,\pm3\}$ [/mm] testen ...
> Also Teste ich mit 1,2 und 3?
>
>
> > Wieso das? 1-x kommt doch gar nicht in beiden Summanden
> > vor??
>
> Im ausklammern war ich schon immer schlecht :) Deswegen mag
> ich das mit der Polynomdivision lieber ;)
> Kann deinen Weg jetzt schon nachvollziehn nur ich komm
> dann oft nicht drauf was ich am besten klammere...
>
> > Klammere besser [mm](-1-x)[/mm] aus
> >
> > Dann kommst du auf
> > [mm](-1-x)\cdot{}\left[(4-x)(1-x)+2\right]=(-1-x)(x^2-5x-6)[/mm]
> >
>
>
LG
schachuzipus
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![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]"){kind=small}
