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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:49 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Trixi19 |
| Aufgabe | Einem Würfel (Kantenlänge a) wird in der abgebildeten Weise ein Tetraeder (Kantenlänge b) einbeschrieben. Die Länge a ist zahlenmäßig bekannt.
a) Geben Sie den Rauminhalt V des Tetraeders an
b) Den Würfel kann man sich zusammengesetzt denken aus dem tetraeder sowie 4 Pyramiden gleichem Grundflächeninhalts.
Wie groß ist der Rauminhalt V jeder dieser Pyramiden?
c) Machen Sie die Probe, ob die Summe aller 5 Pyramidenrauminhalte in der Tat gleich dem Rauminhalt des Würfels ist.
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Hallo,
also bei dieser Aufgabe verzweifle ich :-(.
Aufgabe a) ist klar: V = 0,1179 mal a³
Aufgabe b) ist auch klar: V = 1/3 mal Ag mal h bzw. hier a
Aber bei c) bin ich echt überfordert.
Ich habe als Beispiel a = 5 cm genommen. Somit ist V vom Würfel 125 cm³ und V des Tetraeders (da Seite b, wenn a 5 cm ist, 7,01 cm lang ist, die Grundfläche ist ja ein Quadrat) ist rund 40 cm³.
Nun rechne ich V der restlichen Pyramiden:
V = 1/3 mal 25 cm² mal 5 cm = rund 42 cm³.
Wenn ich jetzt aber 42 mal 4 rechne und den V des Tetraeders dazuaddiere, kommt für den GesamtV 208 cm³ raus!!
Aber die einbeschriebenen Körper können doch kein größeres V haben als der Körper, indem die einbeschrieben sind!
Kann mir vielleicht jemand bei Aufgabe c) auf die Sprünge helfen?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
Die Skizze von dem Würfel habe ich eingescannt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Trixi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo, überdenken wir erst einmal a), du hast die Formel [mm] V_T=\bruch{\wurzel{2}}{12}a^{3} [/mm] für das Volumen des Tetraeders benutzt, deine 0,1179 sind vermutlich [mm] \bruch{\wurzel{2}}{12}, [/mm] so darfst du aber nicht rechnen, du kennst doch die Kantenlänge b deines Tetraeders (noch) nicht, du kennst aber die Kantenlänge vom Würfel, berechnen wir zuerst aus a die Kantenlänge b
[mm] b=\wurzel{2a^{2}}=\wurzel{2}a
[/mm]
damit zum Tetraeder
[mm] V_T=\bruch{\wurzel{2}}{12}(\wurzel{2}a)^{3}
[/mm]
[mm] V_T=\bruch{\wurzel{2}}{12}*(\wurzel{2})^{3}*a^{3}
[/mm]
[mm] V_T=\bruch{4}{12}a^{3}
[/mm]
[mm] V_T=\bruch{1}{3}a^{3}
[/mm]
für den Würfel gilt
[mm] V_W=a^{3}
[/mm]
somit ist das Volumen des Tetraeders [mm] \bruch{1}{3} [/mm] des Volumens vom Würfels
jetzt überfenke noch b)
Steffi
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