Eindeutige Darstellung Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | | Sei V ein K-Vektorraum und B [mm] \subseteq [/mm] V. B ist genau dann eine Basis von V, wenn sich jeder Vektor eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus B darstellen lässt. |
Guten Abend,
bräuchte eure Hilfe bei dieser Aufgabe. Habe wie folgt angefangen:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei B eine Basis von V. Sei x [mm] \in [/mm] B mit x = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}*x_{i} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m} \lambda_{i}'*x_{i}', [/mm] wobei [mm] x_{i}, x_{i}' \in [/mm] B und [mm] \lambda_{i}, \lambda_{i}' \in [/mm] K. Zu zeigen ist dann, das beide Summen identisch sind und [mm] x_{i} [/mm] = [mm] x_{i}', \lambda_{i} [/mm] = [mm] \lambda_{i}'. [/mm] Nun aber genau da hängts leider. Wie zeigt man das? Freue mich über jede Hilfe.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Fr 29.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
Wie wäre es einfacher mit:
> $x = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}\cdot{}x_{i} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}'\cdot{}x_{i}, [/mm] $
[mm] $B=\{x_1,\ldots, x_n\}$ [/mm] und [mm] $\lambda_i, \lambda_i' \in [/mm] K$.
Wäre jetzt nicht [mm] $\lambda_i=\lambda_i',\quad \forall [/mm] i$, wären die Basisvektoren nicht linear unabhängig (wieso?). Widerspruch.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hi,
>
> Wie wäre es einfacher mit:
> > [mm]x = \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}\cdot{}x_{i}[/mm] =
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}'\cdot{}x_{i},[/mm]
>
> [mm]B=\{x_1,\ldots, x_n\}[/mm] und [mm]\lambda_i, \lambda_i' \in K[/mm].
>
> Wäre jetzt nicht [mm]\lambda_i=\lambda_i',\quad \forall i[/mm],
> wären die Basisvektoren nicht linear unabhängig (wieso?).
> Widerspruch.
Na ja, weil die Anzahl der Summanden und die Basisvektoren übereinstimmen, oder? Weshalb darf man denn einfach die Summanden Anzahl gleichsetzen. Und weshalb darf man einfach die Basisvektoren gleichsetzen? Das ist mir leider überhaupt nicht klar.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 So 01.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Wenn
> $ x = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}\cdot{}x_{i} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}'\cdot{}x_{i}, [/mm] $,
so folgt doch:
[mm] \summe_{i=1}^{n}(\lambda_{i}-\lambda_{i}')\cdot{}x_{i}=0
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Na ja, weil die Anzahl der Summanden und die Basisvektoren übereinstimmen, oder?
??? Das ist keine Begründung.
> Weshalb darf man denn einfach die Summanden Anzahl gleichsetzen.
Weil [mm] $\lambda_i$ [/mm] auch 0 sein kann.
> Und weshalb darf man einfach die Basisvektoren gleichsetzen?
??? Weil sie alle von einer Basis kommen.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 Mo 02.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hi,
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> > Na ja, weil die Anzahl der Summanden und die Basisvektoren
> übereinstimmen, oder?
>
> ??? Das ist keine Begründung.
Wie kann man es denn sonst begründen?
> > Weshalb darf man denn einfach die Summanden Anzahl
> gleichsetzen.
>
> Weil [mm]\lambda_i[/mm] auch 0 sein kann.
Ok. Das leuchtet mir ein.
> > Und weshalb darf man einfach die Basisvektoren
> gleichsetzen?
>
> ??? Weil sie alle von einer Basis kommen.
Das leuchtet mir ebenfalls ein.
> ciao
> Stefan
LG Loriot95
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Hallo,
ich weiß nicht genau, ob ich mit meiner Antwort Deine Frage treffe...
Du hattest angenommen, daß es für ein Element x zwei Darstellungen als Linearkombination der Basisvektoren [mm] x_i [/mm] gibt:
$ x = [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}\cdot{}x_{i} [/mm] $und
x= $ [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}'\cdot{}x_{i}$.
[/mm]
Dann ist
[mm] 0=\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i} -\lambda_{i}')\cdot{}x_{i}.
[/mm]
Bedenke nun, daß die [mm] x_i [/mm] linear unabhängig sind. Was folgt?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:21 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo,
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> ich weiß nicht genau, ob ich mit meiner Antwort Deine
> Frage treffe...
>
> Du hattest angenommen, daß es für ein Element x zwei
> Darstellungen als Linearkombination der Basisvektoren [mm]x_i[/mm]
> gibt:
>
> [mm]x = \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}\cdot{}x_{i} [/mm]und
> x= [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}'\cdot{}x_{i}[/mm].
>
> Dann ist
> [mm]0=\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}\cdot{}x_{i} -\lambda_{i}')\cdot{}x_{i}.[/mm]
>
Müsste es nicht [mm] 0=\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{i}')\cdot{}x_{i} [/mm] heißen? Also das die [mm] x_{i} [/mm] linear unabhängig sind bedeutet doch, dass dann auch [mm] \lambda_{i} [/mm] - [mm] \lambda_{i}' [/mm] = 0 sein müssen. Oder sehe ich das falsch? Denn anders ist es ja aufrgund der der linearen unabhängigkeit gar nicht möglich. Somit wäre [mm] \lambda_{i} [/mm] = [mm] \lambda_{i}' [/mm] und damit die Darstellung eindeutig.
Ok. Nun zu
[mm] "\Leftarrow [/mm] ": Sei jeder Vektor aus V eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus B darstellbar. Zu zeigen ist, dass alle [mm] x_{i} [/mm] linear unabhängig sind. Betrachte also [mm] \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i} [/mm] = 0. Wie folgert man nun, dass [mm] \lambda_{1} [/mm] = ... = [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0 gilt?
>
> Gruß v. Angela
>
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Mi 04.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > ich weiß nicht genau, ob ich mit meiner Antwort Deine
> > Frage treffe...
> >
> > Du hattest angenommen, daß es für ein Element x zwei
> > Darstellungen als Linearkombination der Basisvektoren [mm]x_i[/mm]
> > gibt:
> >
> > [mm]x = \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}\cdot{}x_{i} [/mm]und
> > x= [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}'\cdot{}x_{i}[/mm].
> >
> > Dann ist
> > [mm]0=\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}\cdot{}x_{i} -\lambda_{i}')\cdot{}x_{i}.[/mm]
>
> >
> Müsste es nicht [mm]0=\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{i}')\cdot{}x_{i}[/mm]
> heißen?
Ja, da hat sich Angela verschrieben.
> Also das die [mm]x_{i}[/mm] linear unabhängig sind
> bedeutet doch, dass dann auch [mm]\lambda_{i}[/mm] - [mm]\lambda_{i}'[/mm] =
> 0 sein müssen. Oder sehe ich das falsch?
Nein.
> Denn anders ist
> es ja aufrgund der der linearen unabhängigkeit gar nicht
> möglich. Somit wäre [mm]\lambda_{i}[/mm] = [mm]\lambda_{i}'[/mm] und damit
> die Darstellung eindeutig.
> Ok. Nun zu
> [mm]"\Leftarrow[/mm] ": Sei jeder Vektor aus V eindeutig als
> Linearkombination von Vektoren aus B darstellbar. Zu zeigen
> ist, dass alle [mm]x_{i}[/mm] linear unabhängig sind. Betrachte
> also [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i}[/mm] = 0. Wie folgert
> man nun, dass [mm]\lambda_{1}[/mm] = ... = [mm]\lambda_{n}[/mm] = 0 gilt?
mann , mann. Folgern kann man immer dann nix und gar nix, wenn man die Voraussetzungen einfach links liegen lässt !
Du hast: [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i}[/mm] = 0
Ebenso gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n}0*x_{i}[/mm] = 0
Jetzt lasse mal die Voraussetzung nicht links ( und auch nicht rechts oder sonstwo) liegen.
FRED
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:37 Mi 04.05.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> > > Hallo,
> > >
> > > ich weiß nicht genau, ob ich mit meiner Antwort Deine
> > > Frage treffe...
> > >
> > > Du hattest angenommen, daß es für ein Element x zwei
> > > Darstellungen als Linearkombination der Basisvektoren [mm]x_i[/mm]
> > > gibt:
> > >
> > > [mm]x = \summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}\cdot{}x_{i} [/mm]und
> > > x= [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}'\cdot{}x_{i}[/mm].
> > >
> > > Dann ist
> > > [mm]0=\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}\cdot{}x_{i} -\lambda_{i}')\cdot{}x_{i}.[/mm]
>
> >
> > >
> > Müsste es nicht [mm]0=\summe_{i=1}^{n} (\lambda_{i}-\lambda_{i}')\cdot{}x_{i}[/mm]
> > heißen?
>
> Ja, da hat sich Angela verschrieben.
>
> > Also das die [mm]x_{i}[/mm] linear unabhängig sind
> > bedeutet doch, dass dann auch [mm]\lambda_{i}[/mm] - [mm]\lambda_{i}'[/mm] =
> > 0 sein müssen. Oder sehe ich das falsch?
>
>
> Nein.
>
> > Denn anders ist
> > es ja aufrgund der der linearen unabhängigkeit gar nicht
> > möglich. Somit wäre [mm]\lambda_{i}[/mm] = [mm]\lambda_{i}'[/mm] und damit
> > die Darstellung eindeutig.
> > Ok. Nun zu
> > [mm]"\Leftarrow[/mm] ": Sei jeder Vektor aus V eindeutig als
> > Linearkombination von Vektoren aus B darstellbar. Zu zeigen
> > ist, dass alle [mm]x_{i}[/mm] linear unabhängig sind. Betrachte
> > also [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i}[/mm] = 0. Wie folgert
> > man nun, dass [mm]\lambda_{1}[/mm] = ... = [mm]\lambda_{n}[/mm] = 0 gilt?
>
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> mann , mann. Folgern kann man immer dann nix und gar nix,
> wenn man die Voraussetzungen einfach links liegen lässt !
>
> Du hast: [mm]\summe_{i=1}^{n} \lambda_{i}x_{i}[/mm] = 0
>
> Ebenso gilt: [mm]\summe_{i=1}^{n}0*x_{i}[/mm] = 0
>
>
> Jetzt lasse mal die Voraussetzung nicht links ( und auch
> nicht rechts oder sonstwo) liegen.
>
Nach Voraussetzung ist die Linearkombination eindeutig. Da [mm] \summe_{i=1}^{n}0*x_{i} [/mm] = 0 gilt, muss demnach [mm] \lambda_{1} [/mm] = .. [mm] \lambda_{n} [/mm] = 0 gelten, sonst wäre die Darstellung nicht eindeutig. Vielen lieben Dank für eure Hilfe. Hab manchmal doch Tomaten auf den Augen und vergesse die Voraussetzungen.
LG Loriot95
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