Eindeutige Lösbarkeit < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Sa 10.01.2015 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Für welche [mm] y_0 \in [/mm] IR ist das AWP
[mm] y'=2\wurzel{|y|} [/mm] , [mm] y(0)=y_0
[/mm]
nicht eindeutig lösbar? Begründe jeweils die Existenz mehrerer Lösungen und gib alle Lösungen an. |
Hallo,
meine Ideen.
Dass das AWP (mindestens) eine Lösung hat, folgt direkt aus dem Satz von Peano --> Existenz.
y=0 ist eine Lösung. Außerdem folgt mit Trennung der Veränderlichen, dass zudem y= [mm] (c+x)^2 [/mm] und [mm] y=-(c+x)^2 [/mm] weitere Lösungen sind.
Danke für eure Hilfe!
Nun noch zur Eindeutigkeit. Hierfür benötigt man die Lipschitz-Stetigkeit,
also:
[mm] 2|\wurzel{|y|}-\wurzel{|z|}| \le [/mm] L|y-z|.
Hier weiß ich jetzt allerdings nicht mehr weiter. Wie kann ich herausfinden, für welche [mm] y_0 [/mm] eindeutig lösbar ist? Für [mm] y_0=0 [/mm] ja offensichtlich nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 So 11.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Hat niemand eine Idee? Wäre super froh, wenn jemand drüber gucken könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Mo 12.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo rollroll!
> Für welche [mm]y_0 \in[/mm] IR ist das AWP
> [mm]y'=2\wurzel{|y|}[/mm] , [mm]y(0)=y_0[/mm]
> nicht eindeutig lösbar? Begründe jeweils die Existenz
> mehrerer Lösungen und gib alle Lösungen an.
> Hallo,
>
> meine Ideen.
>
> Dass das AWP (mindestens) eine Lösung hat, folgt direkt
> aus dem Satz von Peano --> Existenz.
>
> y=0 ist eine Lösung.
Siehst du, wir brauchten den Satz von Peano nicht. 
> Außerdem folgt mit Trennung der
> Veränderlichen, dass zudem y= [mm](c+x)^2[/mm] und [mm]y=-(c+x)^2[/mm]
> weitere Lösungen sind.
Und oder oder? 
> Danke für eure Hilfe!
> Nun noch zur Eindeutigkeit. Hierfür benötigt man die
> Lipschitz-Stetigkeit,
> also:
> [mm]2|\wurzel{|y|}-\wurzel{|z|}| \le[/mm] L|y-z|.
>
> Hier weiß ich jetzt allerdings nicht mehr weiter. Wie kann
> ich herausfinden, für welche [mm]y_0[/mm] eindeutig lösbar ist?
> Für [mm]y_0=0[/mm] ja offensichtlich nicht.
Wir zeigen, dass die Abbildung
[mm] y'\colon[0,\infty)\to[0,\infty)\colon x\mapsto\sqrt{y}
[/mm]
nicht Lipschitz-Stetig ist. Angenommen es existiert ein [mm] $L>0\$ [/mm] mit
[mm] $|\sqrt{y}-\sqrt{z}|\le [/mm] L*|y-z|$ für alle [mm] $y,z\ge [/mm] 0$.
Mit [mm] $z=0\$ [/mm] erhalten wir
[mm] $\sqrt{y}\le [/mm] L*y$ für alle [mm] $y\ge [/mm] 0$.
Führe das nun zum Widerspruch.
Dann zurück zu deinem Problem.
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:17 Mi 14.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Wie kommst du denn darauf ausgerechnet z=0 zu wählen?
[mm] \sqrt{y}\le L\cdot{}y [/mm]
d.h. 1 [mm] \le [/mm] L [mm] \wurzel{y}, [/mm] was für y--> [mm] \infty [/mm] ja ein Widerspruch ist.
Könnte man es auch so begründen, dass die Ableitung nach y in 0 nicht diffbar ist, weshalb dann [mm] \wurzel{|y|} [/mm] in 0 nicht Lipschitz-stetig ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Mi 14.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Wie kommst du denn darauf ausgerechnet z=0 zu wählen?
[mm] $z=0\$ [/mm] widerspricht nicht unserer Annahme und führt zum Ziel.
> [mm]\sqrt{y}\le L\cdot{}y[/mm]
für alle [mm] $y\ge 0\$.
[/mm]
> d.h. 1 [mm]\le[/mm] L [mm]\wurzel{y},[/mm]
für alle [mm] $y\ge [/mm] 0$.
> was für y--> [mm]\infty[/mm] ja ein Widerspruch ist.
Nein. Damit erhalten wir keinen Widerspruch.
> Könnte man es auch so begründen, dass die Ableitung nach y in 0 nicht diffbar ist,
Was? Das ist Quark.
> weshalb dann [mm]\wurzel{|y|}[/mm] in 0 nicht Lipschitz-stetig ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:51 Mi 14.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Mist, ich meinte ja auch y-->0 liefert den Widerspruch.
Was kann ich daraus für die Ausgangsfrage (das AWP) folgern?
Aber es gibt doch einen Zusammenhang zwischen der Lipschitz-Stetigkeit und der Diffbarkeit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:17 Mi 14.01.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Mist, ich meinte ja auch y-->0 liefert den Widerspruch.
Richtig.
> Was kann ich daraus für die Ausgangsfrage (das AWP) folgern?
Das ist doch fast die selbe Funktion. Ich wollte mir nur die
[mm] $2\$ [/mm] ersparen. Du kannst natürlich den Beweis analog führen
oder eine Begründung hinzufügen.
> Aber es gibt doch einen Zusammenhang zwischen der Lipschitz-Stetigkeit und der Diffbarkeit?
Ist eine Funktion Lipschitz-stetig, dann ist sie auch fast über-
all differenzierbar. Ist eine Funktion differenzierbar, dann ist
sie nicht unbedingt Lipschitz-stetig. Ansonsten gibt es noch ein
Zusammenhang, falls die Ableitung beschränkt ist (Welchen?).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:31 Mi 14.01.2015 | | Autor: | rollroll |
D.h. dass das AWP für alle [mm] y_0 [/mm] ungleich 0 eindeutig lösbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:08 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> D.h. dass das AWP für alle [mm]y_0[/mm] ungleich 0 eindeutig
> lösbar ist?
Probiere es doch aus !
Fall 1: [mm] y_0>0. [/mm] Ist nun y eine Lösung des AWPs, so gibt es, wegen y(0)>0, eine Umgebung U von 0 mit:
y(x)>0 für alle x [mm] \in [/mm] U.
Damit ist |y|=y auf U.
Löse also mit Trennung der Veränderlichen die DGL
[mm] y'=2\wurzel{y}.
[/mm]
Du solltest auf [mm] y(x)=(x+c)^2 [/mm] kommen. Wegen [mm] y(0)=c^2=y_0 [/mm] ist c= [mm] \pm \wurzel{y_0}.
[/mm]
Damit hast Du zunächst 2 "Lösungen":
[mm] y_1(x)=(x+\wurzel{y_0})^2 [/mm] und [mm] y_2(x)=(x-\wurzel{y_0})^2.
[/mm]
Sind beide Funktionen wirklich Lösungen des AWPs ? Nein !
Begründe: [mm] y_1 [/mm] ist eine Lösung des AWPs, [mm] y_2 [/mm] hingegen nicht.
Nebenbei: begründe auch noch, dass das maximale Existenzintervall der Lösung [mm] y_1 [/mm] so aussieht:
[mm] $(-\wurzel{y_0}, \infty)$.
[/mm]
Fall 2: Fall 1: [mm] y_0<0.
[/mm]
Behandle Du diesen Fall ähnlich wie Fall 1.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:03 Mi 14.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Ich werde mich nachher dem zweiten Fall widmen.
Aber eine Frage noch vorweg: Wir hatten doch oben gezeigt dass die Funktion f (x, y)=2 [mm] \wurzel{|y|} [/mm] für alle y ungleich 0 Lipschitz ist. Deshlab ist die Lösung des AWPs eindeutig für alle [mm] y_0 [/mm] ungleich 0.
Nur damit ich das schon mal verstanden habe. Ist das so in Ordnung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Ich werde mich nachher dem zweiten Fall widmen.
>
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> Aber eine Frage noch vorweg: Wir hatten doch oben gezeigt
> dass die Funktion f (x, y)=2 [mm]\wurzel{|y|}[/mm] für alle y
> ungleich 0 Lipschitz ist.
Das stimmt doch nicht ! Angenommen, es wäre mit einem L>0
|f(x,y)-f(x,z)| [mm] \le [/mm] L|y-z| für alle y,z>0.
Mit z [mm] \to [/mm] 0+0 würde
[mm] 2*\wurzel{y} \le [/mm] Ly für alle y>0 folgen.
Dann hätten wir
2 [mm] \le L*\wurzel{y} [/mm] für alle y>0.
Das ist aber großer Unfug !
FRED
> Deshlab ist die Lösung des AWPs
> eindeutig für alle [mm]y_0[/mm] ungleich 0.
> Nur damit ich das schon mal verstanden habe. Ist das so in
> Ordnung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mi 14.01.2015 | | Autor: | rollroll |
Bedeutet dies dass die Funktion nicht Lipschitz stetig ist für alle y?
Folgt dann , dass das AWP für kein [mm] y_0 [/mm] eindeutig lösbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bedeutet dies dass die Funktion nicht Lipschitz stetig ist
> für alle y?
Ja
> Folgt dann , dass das AWP für kein [mm]y_0[/mm] eindeutig lösbar
> ist?
Nein. Das folgt natürlich nicht !
Was machst Du eigentlich mit all dem, was man Dir schreibt ? Liest Du das oder drückst Du es sofort in die Mülltonne ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 14.01.2015 | | Autor: | rollroll |
> > Folgt dann , dass das AWP für kein [mm]y_0[/mm] eindeutig lösbar
> > ist?
>
> Nein. Das folgt natürlich nicht !
>
> Was machst Du eigentlich mit all dem, was man Dir schreibt
> ? Liest Du das oder drückst Du es sofort in die Mülltonne
>
Ich versuche immer das auch zu verstehen. Ich glaube mein Fehler war der folgende: Aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt die Eindeutigkeit der Lösung. Nun dachte ich, dass dies eine Äquivalenz wäre. Aber scheinbar gilt die Implikation Nicht-Lipschitz folgt Nicht-Eindeutigkeit nicht.
Denn die Funktion war nicht Lipschitz für alle y, aber für alle [mm] y_0 [/mm] ungleich 0 war die Lösung eindeutig.
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
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> > > Folgt dann , dass das AWP für kein [mm]y_0[/mm] eindeutig lösbar
> > > ist?
> >
> > Nein. Das folgt natürlich nicht !
> >
> > Was machst Du eigentlich mit all dem, was man Dir schreibt
> > ? Liest Du das oder drückst Du es sofort in die Mülltonne
> >
> Ich versuche immer das auch zu verstehen. Ich glaube mein
> Fehler war der folgende: Aus der Lipschitz-Stetigkeit folgt
> die Eindeutigkeit der Lösung. Nun dachte ich, dass dies
> eine Äquivalenz wäre. Aber scheinbar gilt die Implikation
> Nicht-Lipschitz folgt Nicht-Eindeutigkeit nicht.
>
> Denn die Funktion war nicht Lipschitz für alle y, aber
> für alle [mm]y_0[/mm] ungleich 0 war die Lösung eindeutig.
Das hast Du noch nicht gezeigt
FRED
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> > FRED
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