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Eindeutigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 Sa 25.11.2006
Autor: roadrunnerms

hallo, ich komme bei der aufgabe einfach auf garnichts:

Sei V ein Vektorraum und sei U´ein affiner Unterraum, d.h. es existiert ein Unterraum U [mm] \subset [/mm]    V
und ein Vektor x [mm] \in [/mm] V mit U'= x+U := {x +u | u [mm] \in [/mm] U}
Zeigen Sie, dass der Unterraum U, der
zu U´ gehört, eindeutig bestimmt ist  ????
Gilt dies auch für den Vektor x [mm] \in [/mm] V  ?????

schonmal danke für die hilfe

        
Bezug
Eindeutigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 So 26.11.2006
Autor: angela.h.b.


> hallo, ich komme bei der aufgabe einfach auf garnichts:
>  
> Sei V ein Vektorraum und sei U´ein affiner Unterraum, d.h.
> es existiert ein Unterraum U [mm]\subset[/mm]    V
>  und ein Vektor x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

V mit U'= x+U := {x +u | u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

U}

>   Zeigen Sie, dass der Unterraum U, der
>  zu U´ gehört, eindeutig bestimmt ist  ????
>  Gilt dies auch für den Vektor x [mm]\in[/mm] V  ?????
>  
> schonmal danke für die hilfe

Hallo,

nimm an, daß U' zwei Darstellungen hat.

U'=x+U   und U'=x''+U''.

Angenommen, U [mm] \not=U''. [/mm]
Dann gibt es ein   mit [mm] y\in [/mm] U \ U'' oder [mm] y\in [/mm] U'' \ U.
Sei [mm] y\in [/mm] U \ U''.
Es ist x+y [mm] \in [/mm] U'
Nun mußt Du ein bißchen mit den beiden Darstellungen von U' spielen und einen Widerspruch erzeugen.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Eindeutigkeit: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 So 26.11.2006
Autor: roadrunnerms

ok.
also muss ich jetzt nachweisen, dass x+U=x´´+U´´
nur dann existiert, wenn x=x´´ und  U=U´´
da ich anfangs annehme U not= U´´ kann also nur ein widerspruch folgen.
hab ich des richtig verstanden.
aber ich komme leider nicht drauf, wie es aussehen soll, bzw. wie es rechnierisch aussieht.


Bezug
                        
Bezug
Eindeutigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 So 26.11.2006
Autor: angela.h.b.


> ok.
>  also muss ich jetzt nachweisen, dass x+U=x´´+U´´
>  nur dann existiert, wenn x=x´´ und  U=U´´

Zunächst einmal, daß daraus folgt, daß U=U''.

Das mit x=x'' kommt erst später. Es gilt übrigens nicht.

Hast Du eigentlich eine Vorstellung von einem affinen Unterraum?
Eher nicht, würd' ich raten. Deshalb ein kleines Beispiel (bitte aufzeichnen!):

Der [mm] \IR^2, [/mm] den du Dir als Koordinatenebene vorstellen kannst, ist ja ein Vektorraum. Nimm Dir als Unterraum U nun eine beliebige Gerade durch den Nullpunkt, etwa die von [mm] \vektor{4 \\ 5} [/mm] aufgespannte Gerade [mm] U=<\vektor{4 \\ 5}> [/mm] (oder wie oft in der Schule geschrieben U: [mm] \vektor{x \\ y}=\lambda\vektor{4 \\ 5}, \lambda \in \IR.) [/mm]

Einen affinen unterraum bekommst Du, wenn Du diese Gerade an einen beliebigen Punkt "anheftest", etwa an [mm] x=\vektor{1 \\ 2}. [/mm] Dein affiner Unterraum ist dann die Gerade durch [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] in Richtung [mm] \vektor{4 \\ 5}, [/mm] in der Schule haben wir geschrieben [mm] \vektor{x \\ y}=\vektor{1 \\ 2}+\lambda\vektor{4 \\ 5}. [/mm]    Aufgepaßt: diese Gerade ist KEIN Untervektorraum von [mm] \IR^2. [/mm] (Wieso?)

Wenn Du nun dieses Bild vor Augen hast, solltest Du entscheiden können, ob x zwangsläufig gleich x'' sein muß.
Ich hoffe auch, daß Du beim Anblick dieses Bildes das Gefühl bekommst, daß Du nur mit diesem einen Unterraum U genau diese Gerade bauen kannst.

So, nun zurück zum Beweis:

>Angenommen,
>U'=x+U   und U'=x''+U''
>und U $ [mm] \not=U''. [/mm] $

>Dann gibt es ein   mit $ [mm] y\in [/mm] $ U \ U'' oder $ [mm] y\in [/mm] $ U'' \ U.
>Sei $ [mm] y\in [/mm] $ U \ U''.
>Es ist x+y $ [mm] \in [/mm] $ U'

Also ist x+y [mm] \in [/mm] x''+U''

==> y [mm] \in [/mm] (x''-x)+U''

Weil [mm] y\not\in [/mm] U'' folgt hieraus x-x'' [mm] \not\in [/mm] ???

==> [mm] x\not\in [/mm] ???

Es ist aber ??? . Widerspruch.

Die Für die x=x''?-Geschichte laß Dich vom Bild inspirieren.

Gruß v. Angela








>  da ich anfangs annehme U not= U´´ kann also nur ein
> widerspruch folgen.
>  hab ich des richtig verstanden.
> aber ich komme leider nicht drauf, wie es aussehen soll,
> bzw. wie es rechnierisch aussieht.
>  


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