Eindeutigkeit Links/Rechtsinv. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich wollte fragen, ob man beweisen kann, dass in einer Gruppe das links- bzw. rechtsinverse Element eindeutig bestimmt ist? Oder gilt diese Behauptung gar nicht? Mir will eine Bestätigung zumindest nicht gelingen.
Versuche: Sei G Gruppe, Seien [mm] a_{1},a_{2}\in [/mm] G Linksinverse zu [mm] a\in [/mm] G mit [mm] a_{1}\not=a_{2}. [/mm] Die Operation der Gruppe G sei [mm] \circ, [/mm] und das neutrale Element [mm] e\in [/mm] G. Dann gilt nach Definition
[mm] a_{1}\circ [/mm] a = e
[mm] a_{2} \circ [/mm] a = e
Nun müsste man ja irgendwie anfangen mit
[mm] a_{1} [/mm] = ...
und zeigen, dass dann am Ende
... = [mm] a_{2}
[/mm]
steht.
Viele dieser Beweise werden ja mit dem "Trick" des neutralen Elements begonnen, und dann geht es ganz leicht. Dazu muss man aber immer gerade die Kommutativität des eines Elements mit seinem Inversen voraussetzen, was hier ja nicht geht.
[mm] a_{1} [/mm] = e [mm] \circ a_{1}= a_{2}\circ a\circ a_{1} [/mm] = ?
Vielen Dank für eure Hilfe
Stefan.
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Hallo Stefan,
> Hallo!
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> Ich wollte fragen, ob man beweisen kann, dass in einer
> Gruppe das links- bzw. rechtsinverse Element eindeutig
> bestimmt ist? Oder gilt diese Behauptung gar nicht? Mir
> will eine Bestätigung zumindest nicht gelingen.
>
> Versuche: Sei G Gruppe, Seien [mm]a_{1},a_{2}\in[/mm] G Linksinverse
> zu [mm]a\in[/mm] G mit [mm]a_{1}\not=a_{2}.[/mm] Die Operation der Gruppe G
> sei [mm]\circ,[/mm] und das neutrale Element [mm]e\in[/mm] G. Dann gilt nach
> Definition
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> [mm]a_{1}\circ[/mm] a = e
> [mm]a_{2} \circ[/mm] a = e
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> Nun müsste man ja irgendwie anfangen mit
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> [mm]a_{1}[/mm] = ...
>
> und zeigen, dass dann am Ende
>
> ... = [mm]a_{2}[/mm]
>
> steht.
> Viele dieser Beweise werden ja mit dem "Trick" des
> neutralen Elements begonnen, und dann geht es ganz leicht.
> Dazu muss man aber immer gerade die Kommutativität des
> eines Elements mit seinem Inversen voraussetzen, was hier
> ja nicht geht.
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> [mm]a_{1}[/mm] = e [mm]\circ a_{1}= a_{2}\circ a\circ a_{1}[/mm] = ?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
Du kannst dir zunutze machen, dass in einer Gruppe das Linksinverse mit dem Rechtsinversen übereinstimmt und die Aussage auf die Eindeutigkeit des Inversen zurückführen
Begründung: Sei [mm] $g\in [/mm] G, a$ linksinvers zu $g$, $b$ rechtsinvers zu $g$
[mm] $\Rightarrow [/mm] ag=e=gb$, also $ag=gb$ nun multipliziere $b$ von rechts dran
[mm] $\Rightarrow (ag)b=\underbrace{(gb)}_{=e}b$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] a(gb)=b$ (Assoziativität von [mm] \cdot [/mm] in G)
[mm] $\Rightarrow [/mm] a=b$
Also Linksinverses=Rechtsinverses.
Nun versuche dich an der Eindeutigkeit des Inversen ...
> Stefan.
LG
schachuzipus
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Hallo!
Danke für deine Antwort!
Meine Aufgabe lautet eigentlich: "Beweisen Sie, dass es in einer Gruppe zu einem Element x nicht zwei verschiedene Inverse geben kann!"
Da wollte ich zeigen:
1. Links/Rechtsinverses eindeutig
2. Links- und rechts-inverses stimmen überein
3. Dieses Inverse ist eindeutig (überflüssig?)
Erfülle ich die Aufgabe auch, wenn ich nur 2. und 3. mache? Die Beweise würde ich (auch dank deiner Hilfe) hinbekommen.
Eindeutigkeit Inverses: Seien [mm] y_{1}, y_{2} [/mm] Inverse von x. Dann ist
[mm] y_{1} [/mm] = [mm] y_{1}\circ [/mm] e = [mm] y_{1}\circ (y_{2} \circ [/mm] x) = [mm] y_{1}\circ [/mm] (x [mm] \circ y_{2}) [/mm] = [mm] (y_{1}\circ [/mm] x) [mm] \circ y_{2} [/mm] = [mm] e\circ y_{2} [/mm] = [mm] y_{2}
[/mm]
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Ich habe dann noch eine zweite Teilaufgabe, zu der ich gern meine Überlegungen präsentieren möchte:
"Gilt das auch für Halbgruppen mit Eins = Monoid? (Also dass es zu einem Element nicht zwei verschiedene inverse Elemente gibt)"
In einem Monoid gilt ja nur das Assoziativgesetz und die Existenz eines neutralen Elements. D.h. es muss nicht mal unbedingt ein inverses Element zu einem Element [mm] x\in [/mm] G geben. Genausogut kann es aber sicher auch zwei Inverse [mm] y_{1},y_{2}\in [/mm] G geben [mm] (y_{1}\not= y_{2}), [/mm] wo dann zufällig [mm] y_{1}\circ [/mm] x = [mm] y_{2} \circ [/mm] x gilt.
Ich vermute also: Nein die Aussage gilt nicht.
Ich müsste jetzt allerdings ein Gegenbeispiel bringen, weiß aber nicht, wie ich ein solches konstruieren kann. Wie kann man da ein einfaches Beispiel konstruieren? Es müsste ja dann das neutrale Element und die Assoziativität ablesbar sein (Ich denke an so eine Tabelle)
Vielen Dank für eure Hilfe,
Stefan.
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> Ich habe dann noch eine zweite Teilaufgabe, zu der ich gern
> meine Überlegungen präsentieren möchte:
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> "Gilt das auch für Halbgruppen mit Eins = Monoid? (Also
> dass es zu einem Element nicht zwei verschiedene inverse
> Elemente gibt)"
>
> In einem Monoid gilt ja nur das Assoziativgesetz und die
> Existenz eines neutralen Elements. D.h. es muss nicht mal
> unbedingt ein inverses Element zu einem Element [mm]x\in[/mm] G
> geben. Genausogut kann es aber sicher auch zwei Inverse
> [mm]y_{1},y_{2}\in[/mm] G geben [mm](y_{1}\not= y_{2}),[/mm] wo dann zufällig
> [mm]y_{1}\circ[/mm] x = [mm]y_{2} \circ[/mm] x gilt.
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> Ich vermute also: Nein die Aussage gilt nicht.
>
> Ich müsste jetzt allerdings ein Gegenbeispiel bringen, weiß
> aber nicht, wie ich ein solches konstruieren kann. Wie kann
> man da ein einfaches Beispiel konstruieren? Es müsste ja
> dann das neutrale Element und die Assoziativität ablesbar
> sein (Ich denke an so eine Tabelle)
Hallo,
so ein winziges Beispiel, für das man schnell eine Tabelle schreiben kann, fällt mir nicht ein.
Betrachte [mm] \IZ^{\IZ}, [/mm] die Menge aller Abbildungen aus der Menge [mm] \IZ [/mm] in die Menge [mm] \IZ.
[/mm]
Das ist ein Monoid.
Schau die Abbildung
[mm] f:\IZ \to \IZ [/mm] an mit
f(2z):=z
f(2z+1):=z
Es seien [mm] g_1, g_2:\IZ \to \IZ [/mm] mit
[mm] g_1(z):=2z
[/mm]
[mm] g_2(z):=2z+1.
[/mm]
Es ist [mm] f\circ g_i= id_{\IZ},
[/mm]
also sind beide Inverse von derselben Seite (ich kann mir nicht merken ob das nun rechts- oder linksinvers ist), ober die beiden sind durchaus verschieden.
Gruß v. Angela
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Hallo und danke für deine Antwort, Angela!
Das verstehe ich. Mir ist noch ein zweites, vielleicht (zumindest für mich) ein wenig einfacheres Beispiel eingefallen:
Man nimmt die Menge [mm] R^{2\times 2} [/mm] als Grundlage und die assoziative Matrizenmultiplikation als Operation. Einselement wäre die Einheitsmatrix. Dann gäbe es zum Beispiel zur Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 2 }
[/mm]
die beiden (Rechtsinversen) [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & -1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 2 & 2 \\ -2 & -2 } [/mm] (ganz banal, aber immerhin )
oder "ganze Inverse" (also links und rechts) zur Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
wären [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] und [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 2 }. [/mm] Ginge das auch?
Stefan.
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> Das verstehe ich. Mir ist noch ein zweites, vielleicht
> (zumindest für mich) ein wenig einfacheres Beispiel
> eingefallen:
Hallo,
guck' Deine Matrizen nochmal an, irgendwie stimmt das nicht.
Gruß v. Angela
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Hallo!
Oh je, du hast recht... Ich verwechsle bei dem Zeug irgendwie immer 0 und 1 Element. Das funktioniert also auch nicht, weil ich ja dann die Einheitsmatrix erzeugen müsste. Die hat Vollrang, und den bekommen ich ja nur, wenn ich zwei "vollrangige" Matrizen miteinander multipliziere - dann ist aber das Inverse wieder eindeutig - Heul.
Stefan.
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Hallo!
Würde folgender Monoid gehen:
[mm] <ÛIR,\circ [/mm] ,1> mit
a [mm] \circ [/mm] b = a * |b|
Neutrales Element wäre 1. Oder ist es dann ein Verstoß, dass es noch ein zweites rechtsneutrales Element -1 gäbe?
Dann hätte a jeweils zwei Rechtsinverse (außer für b = 0).
Stefan.
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> Hallo!
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> Würde folgender Monoid gehen:
>
> [mm]<ÛIR,\circ[/mm] ,1> mit
>
> a [mm]\circ[/mm] b = a * |b|
>
> Neutrales Element wäre 1. Oder ist es dann ein Verstoß,
> dass es noch ein zweites rechtsneutrales Element -1 gäbe?
Hallo,
es fällt mir nichts ein, wogegen das verstoßen würde.
Ich meine, daß Dein Beispiel funktioniert.
Gruß v. Angela
> Dann hätte a jeweils zwei Rechtsinverse (außer für b = 0).
>
> Stefan.
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Hallo!
Danke angela. Trotz deines Beispiels habe ich mal in meinen Text geschrieben, dass ein Monoid höchstens ein Inverses haben kann, also nicht zwei und habe dann gezeigt, dass wenn man zwei Inverse hätte (oder zumindest Elemente, welche die Eigenschaften erfüllen), die wieder gleich werden (analog zu dem normalen Beweis für eine Gruppe). Ich hab das so gelöst aus zwei Gründen, die mir dann noch aufgefallen sind:
1. Auf einer Internetseite habe ich die Phrase "In einem Monoid kann ein Element höchstens ein Inverses haben" in einem Vorlesungsskript gefunden
2. Die Fragestellung ist so: "Gilt das auch für Halbgruppen mit Eins? Gibt es Halbgruppen mit Eins, in denen zu einem Element mehrere Rechtsinverse existiereren?" Und da wäre es dann ja ein wenig sinnlos, wenn ich schon die erste Frage mit "Ja" beantworte.
Trotzdem danke für deine Bestätigung und Hilfe!
Stefan.
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