Eindeutigkeit Treppennormalfor < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:09 Mo 15.07.2013 | | Autor: | Bllack |
Hallo Zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
sei Ax = 0 zu lösen und sei
A = [mm] \pmat{ 1 & 4 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & 2 & 2 }
[/mm]
Wenn ich das übliche "Lösungsschema" anwende:
1. A in Treppennormalform überführen
2. Leerzeilen streichen
3. Leerzeilen einfügen, dass Pivot-Stellen Diagonalelemente werden
4. betrachte Spalten mit "0" als Diagonal-Elemente
5. die Spalten aus 4. sind die Lösungs-Vektoren mit "ersetze 0 durch -1"
dann erhalte ich unterschiedliche Lösungen abhängig davon, was ich als Pivot-Positionen für die Treppennormalform wähle.
Wähle ich die Position (1,1) und (2,4) als Pivot-Positionen, so erhalte ich als Lösungsmenge:
[mm] L_{1}:= [/mm] < [mm] \vektor{1/2 \\ -1 \\ 0 \\ 7/4}, \vektor{3/2 \\ 0 \\ -1 \\ 7/4}>
[/mm]
Wähle ich dagegen (1,1) und (2,2), so erhalte ich:
[mm] L_{2}:= [/mm] < [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{-2/7 \\ 4/7 \\ 0 \\ -1}>
[/mm]
(Anmerkung: letzter Vektor am 16.07., 9:25 Uhr editiert / korrigiert)
Es sind alle 4 Vektoren Lösungen von Ax = 0, was mich nun zu der Frage führt: wie ist das möglich, wenn doch die Treppennormalform eindeutig ist?
Liegt mein Fehler darin, dass ich (1,1) und (2,4) nicht als Pivot-Positionen wählen darf, wenn (1,1) und (2,2) möglich wären?
Ergänzung:
Kurz bevor ich die zweite Pivot-Stellen wähle, habe ich folgende Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 4 & 5 & 2 \\ 0 & 7 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
wenn ich jetzt also (2,2) als zweite Pivot-Stelle wähle, habe ich als Treppennormalform folgende Matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -2/7 \\ 0 & 1 & 1 & 4/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
bzw. die Treppennormalform mit (2,4) als zweite Pivot-Stelle:
[mm] \pmat{ 1 & 1/2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 7/4 & 7/4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
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moin,
multipliziere die Vektoren doch mal an $A$ dran, dann wirst du feststellen, dass nicht alle davon Lösungen sind - vielleicht löst sich nach Beseitigung der Rechenfehler dein Problem in Luft auf?
Davon abgesehen verstehe ich nicht ganz wie du irgendwo Pivotstellen wählen kannst,
die Pivotelemente stehen doch nach Schritt 3 alle auf der Diagonalen.
Gib vielleicht einfach mal deine Normalform(en) an, dann können wir mal gucken woher die unterschiedlichen Lösungen kommen und wo genau das Problem liegt.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:43 Di 16.07.2013 | | Autor: | Bllack |
Moin Shadow,
Danke für Deine Hilfe. Ich habe tatsächlich den letzten Vektor falsch abgeschrieben. Habe es jetzt oben nachträglich geändert.
Danke!
LG
Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Di 16.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Bllack,
bitte stelle nicht grundlos den Status einer beantworteten Frage auf unbeantwortet zurück. Wenn weitere Fragen auftauchen, dann stelle diese als neuen Beitrag im gleichen Thread ein.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Di 16.07.2013 | | Autor: | Bllack |
Hi Diophant,
aus meiner Sicht ist die Frage aber gerade eben nicht beantwortet.
Es gab eine Antwort, diese beantwortet aber meine Frage in Bezug auf die Eindeutigkeit einer Treppennormalform nicht. Damit ist der Status "nicht beantwortet".
LG
Hans
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Di 16.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Hans,
> Hi Diophant,
>
> aus meiner Sicht ist die Frage aber gerade eben nicht
> beantwortet.
> Es gab eine Antwort, diese beantwortet aber meine Frage in
> Bezug auf die Eindeutigkeit einer Treppennormalform nicht.
> Damit ist der Status "nicht beantwortet".
ja sorry, das war ein Fehler meinerseits. Ich habe den Status wieder auf unbeantwortet gesetzt.
Gruß, Diophant
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> Hallo Zusammen,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> sei Ax = 0 zu lösen und sei
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 4 & 5 & 2 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ -1 & 3 & 2 & 2 }[/mm]
>
> Wenn ich das übliche "Lösungsschema" anwende:
> 1. A in Treppennormalform überführen
> 2. Leerzeilen streichen
> 3. Leerzeilen einfügen, dass Pivot-Stellen
> Diagonalelemente werden
> 4. betrachte Spalten mit "0" als Diagonal-Elemente
> 5. die Spalten aus 4. sind die Lösungs-Vektoren mit
> "ersetze 0 durch -1"
>
> dann erhalte ich unterschiedliche Lösungen abhängig
> davon, was ich als Pivot-Positionen für die
> Treppennormalform wähle.
>
> Wähle ich die Position (1,1) und (2,4) als
> Pivot-Positionen, so erhalte ich als Lösungsmenge:
>
> [mm]L_{1}:=[/mm] < [mm]\vektor{1/2 \\ -1 \\ 0 \\ 7/4}, \vektor{3/2 \\ 0 \\ -1 \\ 7/4}>[/mm]
>
> Wähle ich dagegen (1,1) und (2,2), so erhalte ich:
>
> [mm]L_{2}:=[/mm] < [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{-2/7 \\ 4/7 \\ 0 \\ -1}>[/mm]
Hallo,
ich glaube, hier liegt ein großes Mißverständnis vor.
Deine beiden Lösungsmengen sind nicht verschieden, sie enthalten dieselben Elemente.
Bedenke:
in [mm] L_1 [/mm] sind nicht nur die beiden Vektoren enthalten,die [mm] L_1 [/mm] erzeugen, sondern eine jegliche Linearkombination der beiden.
Für [mm] L_2 [/mm] gilt dies natürlich ebenso.
Dein Gleichungssystem hat weder zwei noch vier Lösungen, sondern es hat unendlich viele Lösungen!
>
> (Anmerkung: letzter Vektor am 16.07., 9:25 Uhr editiert /
> korrigiert)
>
> Es sind alle 4 Vektoren Lösungen von Ax = 0, was mich nun
> zu der Frage führt: wie ist das möglich, wenn doch die
> Treppennormalform eindeutig ist?
Das, was Du Treppennormalform nennst, ist nicht eindeutig.
Eindeutig ist die reduzierte Treppennormalform/Zeilenstufenform, in welcher das jeweils erste von 0 verschiedene Element der Zeile die 1 ist.
(Genaue Def.: Skript o.ä.)
Die reduzierte TNF ist hier
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & -2/7 \\ 0 & 1 & 1 & 4/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }.
[/mm]
LG Angela
>
> Liegt mein Fehler darin, dass ich (1,1) und (2,4) nicht als
> Pivot-Positionen wählen darf, wenn (1,1) und (2,2)
> möglich wären?
>
>
>
> Ergänzung:
>
> Kurz bevor ich die zweite Pivot-Stellen wähle, habe ich
> folgende Matrix
> [mm]\pmat{ 1 & 4 & 5 & 2 \\ 0 & 7 & 7 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> wenn ich jetzt also (2,2) als zweite Pivot-Stelle wähle,
> habe ich als Treppennormalform folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 & -2/7 \\ 0 & 1 & 1 & 4/7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> bzw. die Treppennormalform mit (2,4) als zweite
> Pivot-Stelle:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1/2 & 3/2 & 0 \\ 0 & 7/4 & 7/4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 Di 16.07.2013 | | Autor: | Bllack |
Hallo Angela,
das habe ich nun verstanden.
Vielen lieben Dank für die tolle Erklärung!
LG
Hans
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