Eindeutigkeit aff. Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Einen wunderschönen guten Abend!
Hab folgende Aufgabe zu bewältigen:
Es sei [mm] $\phi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W$ eine affine Abbildung. Beweisen Sie:
Gilt [mm] $\phi= \tau_{w} \circ [/mm] f$ und [mm] $\phi=\tau_{w'} \circ [/mm] f'$ für Translationen [mm] \tau_{w}, \tau_{w'} [/mm] und lineare Abbildungen f,f', dann folgt [mm] \tau_{w}=\tau_{w'} [/mm] und f=f'.
(Sorry, aber ich hab das mit den griechischen Buchstaben nicht so ganz hingekriegt).
Also rein formell ist das schon logisch, was da steht, aber ich weiß jetzt nicht so recht, wie ich das mathematisch erklären kann.
Klar ist, dass ich zeigen muss, dass die Zerlegung der Abbildung
[mm] \phi=\tau_{w} [/mm] in das Produkt einer Translation und einer linearen Abbildung eindeutig ist.
Aber wie zeige ich das?
Bin für jegliche Tipps wirklich dankbar.
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Mo 03.04.2006 | | Autor: | felixf |
Dir auch einen wunderschoenen guten Abend!
> Hab folgende Aufgabe zu bewältigen:
> Es sei [mm]\phi: V \to W[/mm] eine affine Abbildung. Beweisen Sie:
> Gilt [mm]\phi= \tau_{w} \circ f[/mm] und [mm]\phi=\tau_{w'} \circ f'[/mm] für
> Translationen [mm]\tau_{w}, \tau_{w'}[/mm] und lineare Abbildungen
> f,f', dann folgt [mm]\tau_{w}=\tau_{w'}[/mm] und f=f'.
> (Sorry, aber ich hab das mit den griechischen Buchstaben
> nicht so ganz hingekriegt).
> Also rein formell ist das schon logisch, was da steht,
> aber ich weiß jetzt nicht so recht, wie ich das
> mathematisch erklären kann.
> Klar ist, dass ich zeigen muss, dass die Zerlegung der
> Abbildung
> [mm]\phi=\tau_{w}[/mm] in das Produkt einer Translation und einer
> linearen Abbildung eindeutig ist.
> Aber wie zeige ich das?
Ueberleg dir doch erstmal, wann zwei Translationen [mm] $\tau_w$ [/mm] und [mm] $\tau_{w'}$ [/mm] gleich sind. Was passiert denn z.B., wenn du in [mm] $\tau_w \circ [/mm] f$ und [mm] $\tau_{w'} \circ [/mm] f'$ jeweils $0$ einsetzt?
Und dann denk dran,dass Translationen bijektiv sind (also eine Umkehrfunktion besitzen).
Kommst du jetzt weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Franzie |
Noch nicht so ganz einleuchtend. Aber wenn ich bedenke, dass Translationen bijektiv sind, heißt das doch im Prinzip, dass sie eineindeutig sind, dass es also für jedes Punktpaar genau eine Translation gibt. Aber irgendwie verstehe ich das noch nicht so genau, wie das nun mit der Zerlegung in Translation und lineare Abbildung in Zusammenhang steht.
Steh da grad irgendwie auf dem Schlauch.
liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Mo 03.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> Noch nicht so ganz einleuchtend. Aber wenn ich bedenke,
> dass Translationen bijektiv sind, heißt das doch im
> Prinzip, dass sie eineindeutig sind,
Das ist tautologisch, denn das eine Wort ist die deutsche bezeichnung vom anderen.
> dass es also für jedes
> Punktpaar genau eine Translation gibt.
Was meinst du?
> Aber irgendwie
> verstehe ich das noch nicht so genau, wie das nun mit der
> Zerlegung in Translation und lineare Abbildung in
> Zusammenhang steht.
Du sollst mal schaun, wohin die 0 der beiden Abbildungen geht - die ist ja nach Vorraussetzung gleich. Wohin geht die 0 aber durch lineare Abbildungen? Wie sind jetzt Translationen eindeutig charakterisiert? Warum sind sie also gleich? Jetzt kann man die Umkehrabbildung hinterherschalten, und zwar in der Gleichung. Dann sind auch die linearen Abbildungen gleich.
> Steh da grad irgendwie auf dem Schlauch.
Besser?
SEcki
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