Eindeutigkeit biholomorpher Ab < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:31 Do 10.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
| Aufgabe | Sei $ H := [mm] \{z\in \IC: Im z >0\} [/mm] $ und [mm] $G_1:=H\backslash\{it:0
und [mm] $G_2:=H\backslash\{e^{it}:0
a) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung f: [mm] G_1\to [/mm] H
b) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung g: [mm] G_2\to G_1
[/mm]
c) Man bestimme die Gesamtheit aller biholormphen Abbildungen [mm] $\Phi: G_2 \to [/mm] H$ |
Hallo,
Aufgabe a und b konnte ich gut lösen, man erhält für f(z):= [mm] \wurzel{\bruch{1}{z^2+1}-1}, [/mm] mit dem Zweig der holomorphen Wurzel auf [mm] \IC\backslash \IR_0^+
[/mm]
für [mm] g(z)=2/\pi [/mm] log(z), mit dem Zweig des holomorphen Logarithmus auf [mm] \IC\backslash i\IR_0^-
[/mm]
Doch zu c habe ich nicht wirklich eine Idee.
Ich hab gedacht, dass vielleicht hier der Riemannsche Abbildungssatz hilfreich ist....
Der Riemannsche Abbildungssatz sagt, dass jedes Gebiet G [mm] \not=\IC [/mm] biholomorph in den Einheitskreis abbildbar ist, und eine biholomorphe Abbildung in den Einheitskreis dann eindeutig ist, wenn für einen Punkt c aus G das Bild f(c) bekannt ist.
Kann mir jemand nen Tipp geben?
Lg Verena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:46 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> Sei [mm]H := \{z\in \IC: Im z >0\}[/mm] und
> [mm]G_1:=H\backslash\{it:0
> und [mm]G_2:=H\backslash\{e^{it}:0
> a) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung f: [mm]G_1\to[/mm]
> H
> b) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung g: [mm]G_2\to G_1[/mm]
>
> c) Man bestimme die Gesamtheit aller biholormphen
> Abbildungen [mm]\Phi: G_2 \to H[/mm]
> Hallo,
> Aufgabe a und b konnte ich gut lösen, man erhält für f(z):=
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{z^2+1}-1},[/mm] mit dem Zweig der holomorphen
> Wurzel auf [mm]\IC\backslash \IR_0^+[/mm]
> für [mm]g(z)=2/\pi[/mm] log(z),
> mit dem Zweig des holomorphen Logarithmus auf
> [mm]\IC\backslash i\IR_0^-[/mm]
Ich bezweifle mal spontan, dass $g$ biholomorph ist. Mal ganz davon abgesehen, das es nicht wohldefiniert ist... (Ansonsten waer die Umkehrabbildung ja durch [mm] $\hat{g} [/mm] : z [mm] \mapsto \exp(\frac{\pi z}{2})$ [/mm] gegeben, diese erfuellt jedoch [mm] $\hat{g}(\frac{2}{\pi} [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i) = [mm] \hat{g}(\frac{2}{\pi} [/mm] 4 [mm] \pi [/mm] i)$ und ist somit nichtmals injektiv...
Das Problem ist naemlich, dass $g$ nicht surjektiv ist: Der Hauptzweig von [mm] $\log$ [/mm] bildet $H$ biholomorph auf $A := [mm] \{ z \mid 0 < \Im z < \pi \}$ [/mm] ab, und der Schnipsel [mm] $\{ e^{it} \mid 0 < t < 2\pi \}$ [/mm] wird durch den Hauptzweig auf $B := [mm] \{ i t \mid 0 < t < 2 \pi \}$ [/mm] abgebildet. Du brauchst also eine Abbildung, die diesen Streifen $A [mm] \setminus [/mm] B$ biholomorph auf [mm] $G_1$ [/mm] abbildet.
Wie das gehen soll, dazu fehlt mir aber grad ne Idee...
Zu $f$: Wozu hast du das [mm] $\frac{1}{z^2 + 1}$? [/mm] Das hat bei $i [mm] \in G_1$ [/mm] einen Pol 1. Ordnung!
Versuchs doch einfach mit $f(z) = [mm] \sqrt{z^2 + 1}$: [/mm] Denn $z [mm] \mapsto z^2$ [/mm] bildet [mm] $G_1$ [/mm] auf [mm] $\IC \setminus \IR_{>-1}$ [/mm] ab, $z [mm] \mapsto z^2 [/mm] + 1$ bildet [mm] $G_1$ [/mm] auf [mm] $\IC \setminus \IR_{>0}$ [/mm] ab und [mm] $\sqrt{z^2 + 1}$ [/mm] schliesslich bildet [mm] $G_1$ [/mm] auf $H$ ab.
> Doch zu c habe ich nicht wirklich eine Idee.
> Ich hab gedacht, dass vielleicht hier der Riemannsche
> Abbildungssatz hilfreich ist....
>
> Der Riemannsche Abbildungssatz sagt, dass jedes Gebiet G
> [mm]\not=\IC[/mm] biholomorph in den Einheitskreis abbildbar ist,
> und eine biholomorphe Abbildung in den Einheitskreis dann
> eindeutig ist, wenn für einen Punkt c aus G das Bild f(c)
> bekannt ist.
...und die Richtung der Ableitung in dem Punkt.
Den Satz brauchst du allerdings gar nicht: Du kannst ja direkt eine biholomorphe Abbildung [mm] $\varphi [/mm] : H [mm] \to [/mm] E$ angeben ($E$ sei hier die Einheitskreisscheibe). Du brauchst also nur noch alle Automorphismen von $E$ zu bestimmen, also alle biholomorphen Abbildunge [mm] $\psi [/mm] : E [mm] \to [/mm] E$: Die biholomorphen Abbildungen [mm] $G_2 \to [/mm] H$ sind dann durch [mm] $\varphi^{-1} \circ \psi \circ \varphi \circ [/mm] f [mm] \circ [/mm] g$ gegeben mit [mm] $\psi$ [/mm] den Automorphismen von $E$.
Weisst du, wie die Automorphismen von $E$ aussehen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 So 13.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
danke für Deine Tipps.
> > Sei [mm]H := \{z\in \IC: Im z >0\}[/mm] und
> > [mm]G_1:=H\backslash\{it:0
> > und [mm]G_2:=H\backslash\{e^{it}:0
> > a) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung f:
> [mm]G_1\to[/mm]
> > H
> > b) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung g:
> [mm]G_2\to G_1[/mm]
> >
> > c) Man bestimme die Gesamtheit aller biholormphen
> > Abbildungen [mm]\Phi: G_2 \to H[/mm]
> > Hallo,
> > Aufgabe a und b konnte ich gut lösen, man erhält für f(z):=
> > [mm]\wurzel{\bruch{1}{z^2+1}-1},[/mm] mit dem Zweig der holomorphen
> > Wurzel auf [mm]\IC\backslash \IR_0^+[/mm]
> > für [mm]g(z)=2/\pi[/mm]
> log(z),
> > mit dem Zweig des holomorphen Logarithmus auf
> > [mm]\IC\backslash i\IR_0^-[/mm]
>
> Ich bezweifle mal spontan, dass [mm]g[/mm] biholomorph ist.
Ja, stimmt g ist so nicht biholomorph. Habe eine neue Idee für eine Abbildung von [mm] G_2 [/mm] nach H:
Die Abbildung [mm] z\mapsto z^2 [/mm] bildet [mm] $G_2$ [/mm] auf [mm] A:=\IC\backslash(\{e^{it}:t\in]0,\pi[\}\cup\IR_0^+) [/mm] ab. Hierauf (einfach zusammenhängendes Gebiet, das 0 nicht enthält, existiert jedoch ein Zweig des Logarithmus. Dieser bildet A auf [mm] B:=\IC\backslash\{it:t\in]-1,1[\} [/mm] ab. Nun bildet [mm] z\mapsto [/mm] 1/z B auf [mm] C:=\IC\backslash\{it:t>1\} [/mm] ab. [mm] z\mapsto [/mm] iz dreht das ganze um 90°, und bildet somit C auf [mm] D:=\IC\backslash\{t\in\IR:t>1\} [/mm] abgebildet wird. Durch [mm] z\mapsto [/mm] z+2 wird nun D auf [mm] F:=\IC\backslash\{it, t\in ]-\infty,1[\cup]3,\infty[\} [/mm] abgebildet. Auf F existiert ein holomorpher Zweig der Wurzel, dieser bildet F auf H ab.
Die gesamte Abbildung wäre also:
h: [mm] z\mapsto \wurzel{\bruch{i}{log(z^2)}+2}
[/mm]
Stimmt das so?
g wäre dann [mm] f^{-1}°h.
[/mm]
>
> Zu [mm]f[/mm]: Wozu hast du das [mm]\frac{1}{z^2 + 1}[/mm]? Das hat bei [mm]i \in G_1[/mm]
> einen Pol 1. Ordnung!
>
> Versuchs doch einfach mit [mm]f(z) = \sqrt{z^2 + 1}[/mm]: Denn [mm]z \mapsto z^2[/mm]
> bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]\IC \setminus \IR_{>-1}[/mm] ab
Ich hab gedacht auf [mm] \IC \setminus [/mm] ]-1,0[ ... Steh ich jetzt auf'm Schlauch?
[mm]z \mapsto z^2 + 1[/mm]
> bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]\IC \setminus \IR_{>0}[/mm] ab und [mm]\sqrt{z^2 + 1}[/mm]
> schliesslich bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]H[/mm] ab.
Hab für f nochmal ne andere Idee:
[mm] z\mapsto z^2 [/mm] bildet [mm] $G_1$ [/mm] auf [mm] \IC \setminus [/mm] ]-1,0[ ab. [mm] z\mapsto [/mm] z+1/2 bildet dieses Gebiet auf [mm] \IC \setminus]-1/2,1/2[ [/mm] ab. Durch [mm] z\mapsto [/mm] 1/z wird dieses auf [mm] \IC \setminus \{t:t<2\} [/mm] abgebildet. Durch [mm] z\mapsto [/mm] z+3 wird dieses auf [mm] \IC \setminus (]-\infty,1[\cup]3;\infty[) [/mm] abgebildet. auf diesem Gebiet existiert ein Zweig der holomorphen Wurzel, der dieser Gebiet auf H abbildet.
Die gesamte Abbildung wäre also [mm] z\mapsto \wurzel{\bruch{1}{z^2+1/2}+3}.
[/mm]
Stimmt's so?
> > Doch zu c habe ich nicht wirklich eine Idee.
> > Ich hab gedacht, dass vielleicht hier der Riemannsche
> > Abbildungssatz hilfreich ist....
> >
> > Der Riemannsche Abbildungssatz sagt, dass jedes Gebiet G
> > [mm]\not=\IC[/mm] biholomorph in den Einheitskreis abbildbar ist,
> > und eine biholomorphe Abbildung in den Einheitskreis dann
> > eindeutig ist, wenn für einen Punkt c aus G das Bild f(c)
> > bekannt ist.
>
> ...und die Richtung der Ableitung in dem Punkt.
>
> Den Satz brauchst du allerdings gar nicht: Du kannst ja
> direkt eine biholomorphe Abbildung [mm]\varphi : H \to E[/mm]
> angeben ([mm]E[/mm] sei hier die Einheitskreisscheibe). Du brauchst
> also nur noch alle Automorphismen von [mm]E[/mm] zu bestimmen, also
> alle biholomorphen Abbildunge [mm]\psi : E \to E[/mm]: Die
> biholomorphen Abbildungen [mm]G_2 \to H[/mm] sind dann durch
> [mm]\varphi^{-1} \circ \psi \circ \varphi \circ f \circ g[/mm]
> gegeben mit [mm]\psi[/mm] den Automorphismen von [mm]E[/mm].
>
> Weisst du, wie die Automorphismen von [mm]E[/mm] aussehen?
Meinst Du mit [mm] \varphi [/mm] : H [mm] \to [/mm] E die Cayleyabbildung? Die Automorphismen von E sind doch von der Form [mm] z\mapsto a\bruch{z-w}{\overline{z}w-1},|a|=1, [/mm] |w|<1.
Ist das immer so, dass alle biholomorphen Abbildungen [mm]G_2 \to H[/mm]gegeben sind durch
> [mm]\varphi^{-1} \circ \psi \circ \varphi \circ f \circ g[/mm]
> gegeben mit [mm]\psi[/mm] den Automorphismen von [mm]E[/mm]
Kann ich den Unterschied zwischen zwei solchen biholomorphen Abbildungen immer so beschreiben?
Lg, Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> > > Sei [mm]H := \{z\in \IC: Im z >0\}[/mm] und
> > > [mm]G_1:=H\backslash\{it:0
> > > und [mm]G_2:=H\backslash\{e^{it}:0
> > > a) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung f:
> > [mm]G_1\to[/mm]
> > > H
> > > b) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung g:
> > [mm]G_2\to G_1[/mm]
> > >
> > > c) Man bestimme die Gesamtheit aller biholormphen
> > > Abbildungen [mm]\Phi: G_2 \to H[/mm]
> > > Hallo,
> > > Aufgabe a und b konnte ich gut lösen, man erhält für f(z):=
> > > [mm]\wurzel{\bruch{1}{z^2+1}-1},[/mm] mit dem Zweig der holomorphen
> > > Wurzel auf [mm]\IC\backslash \IR_0^+[/mm]
> > > für [mm]g(z)=2/\pi[/mm]
> > log(z),
> > > mit dem Zweig des holomorphen Logarithmus auf
> > > [mm]\IC\backslash i\IR_0^-[/mm]
> >
> > Ich bezweifle mal spontan, dass [mm]g[/mm] biholomorph ist.
>
> Ja, stimmt g ist so nicht biholomorph. Habe eine neue Idee
> für eine Abbildung von [mm]G_2[/mm] nach H:
> Die Abbildung [mm]z\mapsto z^2[/mm] bildet [mm]G_2[/mm] auf
> [mm]A:=\IC\backslash(\{e^{it}:t\in]0,\pi[\}\cup\IR_0^+)[/mm] ab.
Nein, die ist wieder nicht surjektiv. Die Exponentialfunktion ist periodisch (in $i$-Richtung), deshalb bilden Zweige des Logarithmus immer nur auf gewisse Streifen ab, aber nicht auf so grosse Gebiete wie $H$ ohne einen Fizzel oder [mm] $\IC$ [/mm] ohne einen Fizzel.
> Hierauf (einfach zusammenhängendes Gebiet, das 0 nicht
> enthält, existiert jedoch ein Zweig des Logarithmus. Dieser
> bildet A auf [mm]B:=\IC\backslash\{it:t\in]-1,1[\}[/mm] ab. Nun
> bildet [mm]z\mapsto[/mm] 1/z B auf [mm]C:=\IC\backslash\{it:t>1\}[/mm] ab.
Auch das stimmt nicht: Weder $i$ noch $-i$ befinden sich im Bild, aber $-i [mm] \in [/mm] C$!
> [mm]z\mapsto[/mm] iz dreht das ganze um 90°, und bildet somit C auf
> [mm]D:=\IC\backslash\{t\in\IR:t>1\}[/mm] abgebildet wird. Durch
> [mm]z\mapsto[/mm] z+2 wird nun D auf [mm]F:=\IC\backslash\{it, t\in ]-\infty,1[\cup]3,\infty[\}[/mm]
> abgebildet.
Wieso taucht da ploetzlich [mm] $]-\infty, [/mm] 1[$ auf, was da vorher nie war? (Bei einer Verschiebung aendert sich ja nicht sooo viel.)
> Auf F existiert ein holomorpher Zweig der
> Wurzel, dieser bildet F auf H ab.
> Die gesamte Abbildung wäre also:
> h: [mm]z\mapsto \wurzel{\bruch{i}{log(z^2)}+2}[/mm]
> Stimmt das
> so?
> g wäre dann [mm]f^{-1}°h.[/mm]
>
> >
> > Zu [mm]f[/mm]: Wozu hast du das [mm]\frac{1}{z^2 + 1}[/mm]? Das hat bei [mm]i \in G_1[/mm]
> > einen Pol 1. Ordnung!
> >
> > Versuchs doch einfach mit [mm]f(z) = \sqrt{z^2 + 1}[/mm]: Denn [mm]z \mapsto z^2[/mm]
> > bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]\IC \setminus \IR_{>-1}[/mm] ab
>
> Ich hab gedacht auf [mm]\IC \setminus[/mm] ]-1,0[ ... Steh ich jetzt
> auf'm Schlauch?
Schau dir z.B. $1$ an: die Wurzeln von $1$ sind $-1$ und $1$, und keins davon ist in $H$ (und somit insb. in [mm] $G_1$) [/mm] enthalten! Jedoch ist $1$ in [mm] $\IC \setminus \left]-1, 0\right[$!
[/mm]
> [mm]z \mapsto z^2 + 1[/mm]
> > bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]\IC \setminus \IR_{>0}[/mm] ab und [mm]\sqrt{z^2 + 1}[/mm]
> > schliesslich bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]H[/mm] ab.
>
> Hab für f nochmal ne andere Idee:
> [mm]z\mapsto z^2[/mm] bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]\IC \setminus[/mm] ]-1,0[ ab.
Nein, siehe oben.
> [mm]z\mapsto[/mm] z+1/2 bildet dieses Gebiet auf [mm]\IC \setminus]-1/2,1/2[[/mm]
> ab. Durch [mm]z\mapsto[/mm] 1/z wird dieses auf [mm]\IC \setminus \{t:t<2\}[/mm]
> abgebildet. Durch [mm]z\mapsto[/mm] z+3 wird dieses auf [mm]\IC \setminus (]-\infty,1[\cup]3;\infty[)[/mm]
> abgebildet. auf diesem Gebiet existiert ein Zweig der
> holomorphen Wurzel, der dieser Gebiet auf H abbildet.
> Die gesamte Abbildung wäre also [mm]z\mapsto \wurzel{\bruch{1}{z^2+1/2}+3}.[/mm]
>
> Stimmt's so?
>
> > > Doch zu c habe ich nicht wirklich eine Idee.
> > > Ich hab gedacht, dass vielleicht hier der
> Riemannsche
> > > Abbildungssatz hilfreich ist....
> > >
> > > Der Riemannsche Abbildungssatz sagt, dass jedes Gebiet G
> > > [mm]\not=\IC[/mm] biholomorph in den Einheitskreis abbildbar ist,
> > > und eine biholomorphe Abbildung in den Einheitskreis dann
> > > eindeutig ist, wenn für einen Punkt c aus G das Bild f(c)
> > > bekannt ist.
> >
> > ...und die Richtung der Ableitung in dem Punkt.
> >
> > Den Satz brauchst du allerdings gar nicht: Du kannst ja
> > direkt eine biholomorphe Abbildung [mm]\varphi : H \to E[/mm]
> > angeben ([mm]E[/mm] sei hier die Einheitskreisscheibe). Du brauchst
> > also nur noch alle Automorphismen von [mm]E[/mm] zu bestimmen, also
> > alle biholomorphen Abbildunge [mm]\psi : E \to E[/mm]: Die
> > biholomorphen Abbildungen [mm]G_2 \to H[/mm] sind dann durch
> > [mm]\varphi^{-1} \circ \psi \circ \varphi \circ f \circ g[/mm]
> > gegeben mit [mm]\psi[/mm] den Automorphismen von [mm]E[/mm].
> >
> > Weisst du, wie die Automorphismen von [mm]E[/mm] aussehen?
>
> Meinst Du mit [mm]\varphi[/mm] : H [mm]\to[/mm] E die Cayleyabbildung?
Zum Beispiel. Es gibt da ja viele, aber die sollte es tun.
> Die
> Automorphismen von E sind doch von der Form [mm]z\mapsto a\bruch{z-w}{\overline{z}w-1},|a|=1,[/mm]
> |w|<1.
Genau.
> Ist das immer so, dass alle biholomorphen Abbildungen [mm]G_2 \to H[/mm]gegeben
> sind durch
>
> > [mm]\varphi^{-1} \circ \psi \circ \varphi \circ f \circ g[/mm]
> > gegeben mit [mm]\psi[/mm] den Automorphismen von [mm]E[/mm]
>
> Kann ich den Unterschied zwischen zwei solchen
> biholomorphen Abbildungen immer so beschreiben?
Bei einfach zusammenhaengenden Gebieten ja. (Versuch das doch mal zu beweisen.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 13.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
oje, da hab ich ja ganz schön viel falsch gedacht...
> > > > Sei [mm]H := \{z\in \IC: Im z >0\}[/mm] und
> > > > [mm]G_1:=H\backslash\{it:0
> > > > und [mm]G_2:=H\backslash\{e^{it}:0
> > > > a) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung f:
> > > [mm]G_1\to[/mm]
> > > > H
> > > > b) Man konstruiere eine biholomorphe Abbildung g:
> > > [mm]G_2\to G_1[/mm]
> > > >
> > > > c) Man bestimme die Gesamtheit aller biholormphen
> > > > Abbildungen [mm]\Phi: G_2 \to H[/mm]
> > > > Hallo,
> > > > Aufgabe a und b konnte ich gut lösen, man erhält für f(z):=
> > > > [mm]\wurzel{\bruch{1}{z^2+1}-1},[/mm] mit dem Zweig der holomorphen
> > > > Wurzel auf [mm]\IC\backslash \IR_0^+[/mm]
> > > > für
> [mm]g(z)=2/\pi[/mm]
> > > log(z),
> > > > mit dem Zweig des holomorphen Logarithmus auf
> > > > [mm]\IC\backslash i\IR_0^-[/mm]
> > >
> > > Ich bezweifle mal spontan, dass [mm]g[/mm] biholomorph ist.
> >
> > Ja, stimmt g ist so nicht biholomorph. Habe eine neue Idee
> > für eine Abbildung von [mm]G_2[/mm] nach H:
> > Die Abbildung [mm]z\mapsto z^2[/mm] bildet [mm]G_2[/mm] auf
> > [mm]A:=\IC\backslash(\{e^{it}:t\in]0,\pi[\}\cup\IR_0^+)[/mm] ab.
>
> Nein, die ist wieder nicht surjektiv. Die
> Exponentialfunktion ist periodisch (in [mm]i[/mm]-Richtung), deshalb
> bilden Zweige des Logarithmus immer nur auf gewisse
> Streifen ab, aber nicht auf so grosse Gebiete wie [mm]H[/mm] ohne
> einen Fizzel oder [mm]\IC[/mm] ohne einen Fizzel.
Okay, da hatte ich ja eine völlig falsche Vorstellung...
>
> > Hierauf (einfach zusammenhängendes Gebiet, das 0 nicht
> > enthält, existiert jedoch ein Zweig des Logarithmus. Dieser
> > bildet A auf [mm]B:=\IC\backslash\{it:t\in]-1,1[\}[/mm] ab. Nun
> > bildet [mm]z\mapsto[/mm] 1/z B auf [mm]C:=\IC\backslash\{it:t>1\}[/mm] ab.
>
> Auch das stimmt nicht: Weder [mm]i[/mm] noch [mm]-i[/mm] befinden sich im
> Bild, aber [mm]-i \in C[/mm]!
Hab gemeint: [mm] C:=\IC\backslash\{it, t\in\IR:|t|>1\} [/mm] und [mm] D:=\IC\backslash\{t\in\IR:|t|>1\}. [/mm] Stimmt dann die folgende Argumentation?
>
> > [mm]z\mapsto[/mm] iz dreht das ganze um 90°, und bildet somit C auf
> > [mm]D:=\IC\backslash\{t\in\IR:t>1\}[/mm] abgebildet wird. Durch
> > [mm]z\mapsto[/mm] z+2 wird nun D auf [mm]F:=\IC\backslash\{it, t\in ]-\infty,1[\cup]3,\infty[\}[/mm]
> > abgebildet.
>
> Wieso taucht da ploetzlich [mm]]-\infty, 1[[/mm] auf, was da vorher
> nie war? (Bei einer Verschiebung aendert sich ja nicht sooo
> viel.)
>
> > Auf F existiert ein holomorpher Zweig der
> > Wurzel, dieser bildet F auf H ab.
> > Die gesamte Abbildung wäre also:
> > h: [mm]z\mapsto \wurzel{\bruch{i}{log(z^2)}+2}[/mm]
> > Stimmt
> das
> > so?
> > g wäre dann [mm]f^{-1}°h.[/mm]
> >
> > >
> > > Zu [mm]f[/mm]: Wozu hast du das [mm]\frac{1}{z^2 + 1}[/mm]? Das hat bei [mm]i \in G_1[/mm]
> > > einen Pol 1. Ordnung!
> > >
> > > Versuchs doch einfach mit [mm]f(z) = \sqrt{z^2 + 1}[/mm]: Denn [mm]z \mapsto z^2[/mm]
> > > bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]\IC \setminus \IR_{>-1}[/mm] ab
> >
> > Ich hab gedacht auf [mm]\IC \setminus[/mm] ]-1,0[ ... Steh ich jetzt
> > auf'm Schlauch?
>
> Schau dir z.B. [mm]1[/mm] an: die Wurzeln von [mm]1[/mm] sind [mm]-1[/mm] und [mm]1[/mm], und
> keins davon ist in [mm]H[/mm] (und somit insb. in [mm]G_1[/mm]) enthalten!
> Jedoch ist [mm]1[/mm] in [mm]\IC \setminus \left]-1, 0\right[[/mm]!
Jetzt versteh ich's! Das liegt daran dass ja [mm] \IR [/mm] nicht in H liegt...
> > [mm]z \mapsto z^2 + 1[/mm]
> > > bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]\IC \setminus \IR_{>0}[/mm] ab und [mm]\sqrt{z^2 + 1}[/mm]
> > > schliesslich bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]H[/mm] ab.
> >
> > Hab für f nochmal ne andere Idee:
> > [mm]z\mapsto z^2[/mm] bildet [mm]G_1[/mm] auf [mm]\IC \setminus[/mm] ]-1,0[ ab.
>
> Nein, siehe oben.
>
> > [mm]z\mapsto[/mm] z+1/2 bildet dieses Gebiet auf [mm]\IC \setminus]-1/2,1/2[[/mm]
> > ab. Durch [mm]z\mapsto[/mm] 1/z wird dieses auf [mm]\IC \setminus \{t:t<2\}[/mm]
> > abgebildet. Durch [mm]z\mapsto[/mm] z+3 wird dieses auf [mm]\IC \setminus (]-\infty,1[\cup]3;\infty[)[/mm]
> > abgebildet. auf diesem Gebiet existiert ein Zweig der
> > holomorphen Wurzel, der dieser Gebiet auf H abbildet.
> > Die gesamte Abbildung wäre also [mm]z\mapsto \wurzel{\bruch{1}{z^2+1/2}+3}.[/mm]
>
> >
> > Stimmt's so?
> >
> > > > Doch zu c habe ich nicht wirklich eine Idee.
> > > > Ich hab gedacht, dass vielleicht hier der
> > Riemannsche
> > > > Abbildungssatz hilfreich ist....
> > > >
> > > > Der Riemannsche Abbildungssatz sagt, dass jedes Gebiet G
> > > > [mm]\not=\IC[/mm] biholomorph in den Einheitskreis abbildbar ist,
> > > > und eine biholomorphe Abbildung in den Einheitskreis dann
> > > > eindeutig ist, wenn für einen Punkt c aus G das Bild f(c)
> > > > bekannt ist.
> > >
> > > ...und die Richtung der Ableitung in dem Punkt.
> > >
> > > Den Satz brauchst du allerdings gar nicht: Du kannst ja
> > > direkt eine biholomorphe Abbildung [mm]\varphi : H \to E[/mm]
> > > angeben ([mm]E[/mm] sei hier die Einheitskreisscheibe). Du brauchst
> > > also nur noch alle Automorphismen von [mm]E[/mm] zu bestimmen, also
> > > alle biholomorphen Abbildunge [mm]\psi : E \to E[/mm]: Die
> > > biholomorphen Abbildungen [mm]G_2 \to H[/mm] sind dann durch
> > > [mm]\varphi^{-1} \circ \psi \circ \varphi \circ f \circ g[/mm]
> > > gegeben mit [mm]\psi[/mm] den Automorphismen von [mm]E[/mm].
> > >
> > > Weisst du, wie die Automorphismen von [mm]E[/mm] aussehen?
> >
> > Meinst Du mit [mm]\varphi[/mm] : H [mm]\to[/mm] E die Cayleyabbildung?
>
> Zum Beispiel. Es gibt da ja viele, aber die sollte es tun.
>
> > Die
> > Automorphismen von E sind doch von der Form [mm]z\mapsto a\bruch{z-w}{\overline{z}w-1},|a|=1,[/mm]
> > |w|<1.
>
> Genau.
>
> > Ist das immer so, dass alle biholomorphen Abbildungen [mm]G_2 \to H[/mm]gegeben
> > sind durch
> >
> > > [mm]\varphi^{-1} \circ \psi \circ \varphi \circ f \circ g[/mm]
> > > gegeben mit [mm]\psi[/mm] den Automorphismen von [mm]E[/mm]
> >
> > Kann ich den Unterschied zwischen zwei solchen
> > biholomorphen Abbildungen immer so beschreiben?
>
> Bei einfach zusammenhaengenden Gebieten ja. (Versuch das
> doch mal zu beweisen.)
Das geht doch über den Riemannschen Abbildungssatz?
Seien G und H zwei einfach zusammenhängende Gebiete, [mm] f_1 [/mm] und [mm] f_2 [/mm] zwei verschiedene biholomorphe Abbildungen von G nach H. Dann ist [mm] f_1^{-1}°f_2 [/mm] ein Automorphismus von G. Nach Riemann gibt es eine biholomorphe Abbildung [mm] \varphi [/mm] von G nach E. Dann ist [mm] g:=\varphi^{-1}°f_1°f_2^{-1}°\varphi [/mm] ein Automorphismus von E und es gilt:
[mm] f_2=f_1°f_1^{-1}°f_2=f_1°\varphi°\varphi^{-1}°f_1°f_2^{-1}°\varphi°\varphi^{-1}=f_1°\varphi°g°\varphi^{-1}.
[/mm]
Stimmt's so?
LG,Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> > > Hierauf (einfach zusammenhängendes Gebiet, das 0 nicht
> > > enthält, existiert jedoch ein Zweig des Logarithmus. Dieser
> > > bildet A auf [mm]B:=\IC\backslash\{it:t\in]-1,1[\}[/mm] ab. Nun
> > > bildet [mm]z\mapsto[/mm] 1/z B auf [mm]C:=\IC\backslash\{it:t>1\}[/mm] ab.
> >
> > Auch das stimmt nicht: Weder [mm]i[/mm] noch [mm]-i[/mm] befinden sich im
> > Bild, aber [mm]-i \in C[/mm]!
>
> Hab gemeint: [mm]C:=\IC\backslash\{it, t\in\IR:|t|>1\}[/mm] und
> [mm]D:=\IC\backslash\{t\in\IR:|t|>1\}.[/mm] Stimmt dann die folgende
> Argumentation?
Also das $C$ ist ok.
> > > [mm]z\mapsto[/mm] iz dreht das ganze um 90°, und bildet somit C auf
> > > [mm]D:=\IC\backslash\{t\in\IR:t>1\}[/mm] abgebildet wird. Durch
> > > [mm]z\mapsto[/mm] z+2 wird nun D auf [mm]F:=\IC\backslash\{it, t\in ]-\infty,1[\cup]3,\infty[\}[/mm]
> > > abgebildet.
Bis hierhin stimmts schonmal.
> > > Auf F existiert ein holomorpher Zweig der
> > > Wurzel, dieser bildet F auf H ab.
Das glaube ich nicht: Dann muesste $H$ durch die Abbildung $z [mm] \mapsto z^2$ [/mm] auf $F$ abgebildet werden. Jedoch wird $H$ dadurch auf [mm] $\IC \setminus \IR_{\ge 0}$ [/mm] abgebildet!
> > > Die gesamte Abbildung wäre also:
> > > h: [mm]z\mapsto \wurzel{\bruch{i}{log(z^2)}+2}[/mm]
>
> [...]
>
> Jetzt versteh ich's! Das liegt daran dass ja [mm]\IR[/mm] nicht in H
> liegt...
Genau :)
> > > Ist das immer so, dass alle biholomorphen Abbildungen [mm]G_2 \to H[/mm]gegeben
> > > sind durch
> > >
> > > > [mm]\varphi^{-1} \circ \psi \circ \varphi \circ f \circ g[/mm]
> > > > gegeben mit [mm]\psi[/mm] den Automorphismen von [mm]E[/mm]
> > >
> > > Kann ich den Unterschied zwischen zwei solchen
> > > biholomorphen Abbildungen immer so beschreiben?
> >
> > Bei einfach zusammenhaengenden Gebieten ja. (Versuch das
> > doch mal zu beweisen.)
>
> Das geht doch über den Riemannschen Abbildungssatz?
> Seien G und H zwei einfach zusammenhängende Gebiete, [mm]f_1[/mm]
> und [mm]f_2[/mm] zwei verschiedene biholomorphe Abbildungen von G
> nach H. Dann ist [mm]f_1^{-1}°f_2[/mm] ein Automorphismus von G.
> Nach Riemann gibt es eine biholomorphe Abbildung [mm]\varphi[/mm]
> von G nach E. Dann ist [mm]g:=\varphi^{-1}°f_1°f_2^{-1}°\varphi[/mm]
du meinst $g = [mm] \varphi \circ f_1 \circ f_2^{-1} \circ \varphi^{-1}$, [/mm] oder? (Da [mm] $\varphi [/mm] : G [mm] \to [/mm] E$ ist und du eine Abbildung $g : E [mm] \to [/mm] E$ haben willst.)
> ein Automorphismus von E und es gilt:
>
> [mm]f_2=f_1°f_1^{-1}°f_2=f_1°\varphi°\varphi^{-1}°f_1°f_2^{-1}°\varphi°\varphi^{-1}=f_1°\varphi°g°\varphi^{-1}.[/mm]
> Stimmt's so?
Bis auf das [mm] $\varphi$ [/mm] vs. [mm] $\varphi^{-1}$ [/mm] ja 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 So 13.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
hab eine Frage zu den holomorphen Zweigen der Wurzel. Hab immer gedacht, dass auf jedem einfach zusammenhängenden Gebiet, dass 0 nicht enthält, ein holomorpher Zweig des Logarithmus und damit auch ein holomorpher Zweig der Wurzel definierbar ist. Also auf
[mm]F:=\IC\backslash\{it, t\in ]-\infty,1[\cup]3,\infty[\}[/mm] auch ein holomorpher Zweig der Wurzel existiert. Warum kann ich dann nicht sagen:
> > > > Auf F existiert ein holomorpher Zweig der
> > > > Wurzel, dieser bildet F auf H ab.
>
> Das glaube ich nicht: Dann muesste [mm]H[/mm] durch die Abbildung [mm]z \mapsto z^2[/mm]
> auf [mm]F[/mm] abgebildet werden. Jedoch wird [mm]H[/mm] dadurch auf [mm]\IC \setminus \IR_{\ge 0}[/mm]
> abgebildet!
LG, Verena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 So 13.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> hab eine Frage zu den holomorphen Zweigen der Wurzel. Hab
> immer gedacht, dass auf jedem einfach zusammenhängenden
> Gebiet, dass 0 nicht enthält, ein holomorpher Zweig des
> Logarithmus und damit auch ein holomorpher Zweig der Wurzel
> definierbar ist. Also auf
> [mm]F:=\IC\backslash\{it, t\in ]-\infty,1[\cup]3,\infty[\}[/mm]
> auch ein holomorpher Zweig der Wurzel existiert.
Das stimmt auch alles so.
> Warum kann
> ich dann nicht sagen:
>
> > > > > Auf F existiert ein holomorpher Zweig der
> > > > > Wurzel, dieser bildet F auf H ab.
Weil er $F$ nicht auf $H$ abbildet. Der Zweig trifft Punkte, die nicht in $H$ liegen (etwa wird $1 [mm] \in [/mm] F$ auf [mm] $\pm [/mm] 1$ abgebildet, und das liegt nicht in $H$), und er trifft auch nicht alle Punkte aus $H$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 So 13.08.2006 | | Autor: | VerenaB |
Hallo Felix,
danke, ich sehe schon, bei dem Logarithums und der Wurzel muss man wirklich aufpassen...
Ich werd mal noch ein wenig weiterüberlegen, ob mir nicht doch noch eine Abbildung zu Aufgabe b einfällt.
Lg, Verena
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