Eindeutigkeit der Maßfortsetz. < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
ich habe eine wahrscheinlich recht einfach zu beantwortende Frage, aber ich möchte eben sichergehen:
Satz:
Zwei Maße [mm] \mu [/mm] und [mm] \nu [/mm] auf einer [mm] \sigma [/mm] -Algebra [mm] \sigma(\mathcal{E}) in\Omega, [/mm] die auf den Erzeuger [mm] \mathcal{E} [/mm] eingeschränkt übereinstimmen, sind gleich auf [mm] \sigma(\mathcal{E}), [/mm] also [mm] \mu=\nu, [/mm] wenn
1.) [mm] A,B\in\mathcal{E} [/mm] => [mm] A\cap B\in\mathcal{E}
[/mm]
2.) [mm] \exists (A_i)_{i\in\IN} [/mm] in [mm] \mathcal{E}: \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=\Omega [/mm] und [mm] \mu(A_i)=\nu(A_i)<\infty \forall n\in\IN.
[/mm]
Der Satz sagt also aus, wann ein Maß Eindeutig ist. Wenn ich nun ein Maß [mm] \mu\not<\infty [/mm] habe, heißst das doch noch lange nicht, dass es nicht eindeutig sein kann. Ich kann dann nur den Satz nicht anwenden. Oder irre ich mich und es ist automatisch nicht eindeutig?
MfG Ladon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:32 Do 14.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine wahrscheinlich recht einfach zu beantwortende
> Frage, aber ich möchte eben sichergehen:
>
> Satz:
> Zwei Maße [mm]\mu[/mm] und [mm]\nu[/mm] auf einer [mm]\sigma[/mm] -Algebra
> [mm]\sigma(\mathcal{E}) in\Omega,[/mm] die auf den Erzeuger
> [mm]\mathcal{E}[/mm] eingeschränkt übereinstimmen, sind gleich auf
> [mm]\sigma(\mathcal{E}),[/mm] also [mm]\mu=\nu,[/mm] wenn
> 1.) [mm]A,B\in\mathcal{E}[/mm] => [mm]A\cap B\in\mathcal{E}[/mm]
> 2.)
> [mm]\exists (A_i)_{i\in\IN}[/mm] in [mm]\mathcal{E}: \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=\Omega[/mm]
> und [mm]\mu(A_i)=\nu(A_i)<\infty \forall n\in\IN.[/mm]
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> Der Satz sagt also aus, wann ein Maß Eindeutig ist. Wenn
> ich nun ein Maß [mm]\mu\not<\infty[/mm] habe, heißst das doch noch
> lange nicht, dass es nicht eindeutig sein kann. Ich kann
> dann nur den Satz nicht anwenden.
Natürlich kannst Du ihn anwenden.
Ich formuliere den Satz mal so:
SATZ: Sei [mm] \mathcal{E} [/mm] eine nichtleere Teilmenge der Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] und $ [mm] \mu [/mm] $ und $ [mm] \nu [/mm] $ seien Maße auf [mm] \sigma(\mathcal{E}).
[/mm]
[mm] \mathcal{E} [/mm] habe die folgenden Eigenschaften:
1.) $ [mm] A,B\in\mathcal{E} [/mm] $ => $ [mm] A\cap B\in\mathcal{E} [/mm] $
2.) $ [mm] \exists (A_i)_{i\in\IN} [/mm] $ in $ [mm] \mathcal{E}: \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i=\Omega [/mm] $ und $ [mm] \mu(A_i)=\nu(A_i)<\infty \forall n\in\IN. [/mm] $
Weiter gelte
3.) $ [mm] \mu=\nu$ [/mm] auf [mm] \mathcal{E} [/mm] .
Dann gilt: $ [mm] \mu=\nu$ [/mm] auf [mm] $\sigma( \mathcal{E} [/mm] )$ .
D.h.: Du kannst den Satz immer dann anwenden, wenn für $ [mm] \mu, \nu$ [/mm] und [mm] \mathcal{E} [/mm] die Vor. 1.) - 3.) erfüllt sind.
Natürlich darf für gewisse Mengen [mm] \mu= \infty [/mm] ausfallen, solange eine Folge [mm] (A_i) [/mm] mit den Eig. in 2.) existiert.
FRED
> Oder irre ich mich und es
> ist automatisch nicht eindeutig?
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> MfG Ladon
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