Eindeutigkeit der Treppen-NF < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ist die Treppennormalform einer Matrix eindeutig? |
Ja, das ist sie, steht in meinem Skript.
Das Pordukt der Elementarmatrizen, die die nötigen Umformungen bewirken, kann jedoch ein anderes sein.
Allerdings stelle ichmir die Frage, ob man diese Aussage nicht einschränken muss:
Schließlich kann ich zu einer geg. Matrix verschiedene Stellen / Einträge zu Pivotpositionen machen.
Betzieht sich die Feststellung de rEIndeutigkeit also darauf, dass diese nur bei gleichbleibenden Pivitpositionen gilt?
ZB kann ich in einer 5x6-Matrix
Pivotpositionen an den Stellen
1,1
2,2
3,3
4,4
5,5
haben.
Gleichwohl kann ich die geg Matrix auch in Treppennormalform überführen, wobei die Pivotpos.
1,2
2,3
3,4
4,5
5,6
sind.
Das sind dann unterschiedliche TNF'en.
Verstehe ich das richtig?
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> Ist die Treppennormalform einer Matrix eindeutig?
> Ja, das ist sie, steht in meinem Skript.
> Das Pordukt der Elementarmatrizen, die die nötigen
> Umformungen bewirken, kann jedoch ein anderes sein.
>
> Allerdings stelle ichmir die Frage, ob man diese Aussage
> nicht einschränken muss:
> Schließlich kann ich zu einer geg. Matrix verschiedene
> Stellen / Einträge zu Pivotpositionen machen.
>
> Betzieht sich die Feststellung de rEIndeutigkeit also
> darauf, dass diese nur bei gleichbleibenden Pivitpositionen
> gilt?
>
> ZB kann ich in einer 5x6-Matrix
> Pivotpositionen an den Stellen
> 1,1
> 2,2
> 3,3
> 4,4
> 5,5
> haben.
>
> Gleichwohl kann ich die geg Matrix auch in
> Treppennormalform überführen, wobei die Pivotpos.
> 1,2
> 2,3
> 3,4
> 4,5
> 5,6
>
> sind.
> Das sind dann unterschiedliche TNF'en.
Hallo,
Du müßtest aber um von der ersten zur zweiten zu kommen, Spaltenumformungen machen.
Man bewegt sich aber zur TNF ausschließlich mit Zeilenumformungen.
LG Angela
>
> Verstehe ich das richtig?
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Anders gefragt:
Sei A eine (feste) 5x6-matrix.
Ist es mgl., dass [mm] T_{1} [/mm] und [mm] T_{2} [/mm] Treppennormalformen von A sind?
[mm] T_{1}=
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & * & * & * & * & *\\ 0 & 1 & * & * & * & *\\ 0 & 0 & 1 & * & * & *\\ 0 & 0 & 0 & 1 & * & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & *\\ }
[/mm]
[mm] T_{2}=
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & * & * & * & * & *\\ 0 & 0 & 1 & * & * & *\\ 0 & 0 & 0 & 1 & * & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ }
[/mm]
Die Einträge mit Punkt sind beliebig, es sei denn, sie stehen über einer 1, dann sind sie auch Null. (sind ja fast alle)
___
Vorsichtshalber nochmal anders formuliert, falls o. g. Bsp. nicht funktioniert:
Ich kann zu einer festen Matrix A die Matrix T in TNF bilden. Dabei habe ich gewisse Freiheiten bzgl. der Wahl der Pivotpositionen, solange sie Treppenform haben. (?)
Seien in Fall 1 die Pivotpositionen fest vorgegeben, so gibt es zu dieser Matrix nur eine einzige [mm] TNF:=T_{1}.
[/mm]
(Das ist mindestens der Fall, soweit klar.)
Seien in Fall [mm] 2\not=Fall1 [/mm] die Pivotpositionen anders vorgegeben. Dann gibt es auch dazu eine Matrix in [mm] TNF:=T_{2}.
[/mm]
Die Frage ist jetzt, ob es möglich ist, dass [mm] T_{1}\not=T_{2} [/mm] gilt?
Bezieht sich die Eindeutigkeit der TNF auf alle erdenklichen Auswahlen der Pivotpositionen oder ist die TNF nur eindeutig bzgl. einer festen Wahl der Pivotpositionen?
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> Anders gefragt:
>
> Sei A eine (feste) 5x6-matrix.
> Ist es mgl., dass [mm]T_{1}[/mm] und [mm]T_{2}[/mm] Treppennormalformen von
> A sind?
Hallo,
ich hatte die Frage durchaus verstanden.
Nein, es ist nicht möglich, die TNF ist eindeutig.
(Beweis: s. Literatur)
>
> [mm]T_{1}=[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & * & * & * & * & *\\ 0 & 1 & * & * & * & *\\ 0 & 0 & 1 & * & * & *\\ 0 & 0 & 0 & 1 & * & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & *\\ }[/mm]
>
> [mm]T_{2}=[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & * & * & * & * & *\\ 0 & 0 & 1 & * & * & *\\ 0 & 0 & 0 & 1 & * & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & *\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ }[/mm]
Diese TNF gehören zu verschiedenen Matrizen [mm] A_1 [/mm] und [mm] A_2.
[/mm]
Der Raum, der von den ersten beiden Spalten von [mm] A_1 [/mm] aufgespannt wird, hat die Dimension 2,
der Raum, der von den ersten beiden Spalten von [mm] A_2 [/mm] aufgespannt wird, hat die Dimension 1.
> Die Frage ist jetzt, ob es möglich ist, dass
> [mm]T_{1}\not=T_{2}[/mm] gilt?
Nein.
Die TNF ist eindeutig.
>
> Bezieht sich die Eindeutigkeit der TNF auf alle
> erdenklichen Auswahlen der Pivotpositionen oder ist die TNF
> nur eindeutig bzgl. einer festen Wahl der Pivotpositionen?
Die TNF ist eindeutig,
egal auf welchem Weg Du die TNF berechnest.
LG Angela
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