Eindeutigkeit von DGL < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mi 19.10.2005 | | Autor: | bfe |
Hallo,
in einem Vortrag soll ich u.a. die Existenz und Eindeutigkeit des Eingeschräkten Dreikörperproblems zeigen. Da Analysis bisher nicht meine Stärke war, hab ich damit große Probleme, bzw. mir fehlt die zündende Idee.
Ich weiß, dass ich mich des Satzes von Picard-Lindelöf bedienen muss. Ich muss also zeigen:
[mm] \exists L>0 : ||f(t,x_a)-f(t,x_b)|| \le L \cdot ||x_a-x_b|| [/mm]
für das Anfangswertproblem
[mm] f(x)=x'=\begin{pmatrix} x_3 \\ x_4 \\ x_1 + 2x_4-\frac{(1-\mu)(x_1+\mu)}{r_{13}^3}-\frac{\mu(x_1+\mu-1)}{r_{23}^3} \\ x_2 - 2x_3-\frac{x_2(1-\mu)}{r_{13}^3}-\frac{\mu x_2}{r_{23}^3} \end{pmatrix} \qquad, x(t_0)=x_0[/mm]
mit
[mm] r_{13}=\wurzel{(x_1+\mu)^2+x_2^2} [/mm] und [mm] r_{23}=\wurzel{(1+\mu-x_1)^2+x_2^2} [/mm]
Und da hänge ich fest und finde keinen Anfang.
Ich weiß noch, dass die [mm]r[/mm](also die Abstände) immer positiv sind, [mm]0<\mu<1[/mm] und dass ich ich vorher ein Intervall bzw. eine Epsilon-Umgebung festlegen muss, in dem/der die Lipschitz-Bedingung erfüllt ist bzw. erfüllt sein soll. Wahrscheinlich muss ich die Normen in Picard-Lindelöf abschätzen. Aber wie?
Herzlichen Dank schon mal im Vorraus,
Matthias
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Hallo Matthias,
verstehe ich das richtig, dass du LOKALE existenz und eindeutigkeit für diese dgl zeigen musst?
In diesem fall ist es wohl einfacher, statt der lipschitzstetigkeit der funktion die stetige differenzierbarkeit zu zeigen. denn dann hast du zumindest auf einer umgebung von [mm] $(t_0,x_0)$ [/mm] auch lipschitzstetigkeit.
dass die funktion $f$ stetig diffbar ist, da die $r$-Werte positiv sind, aber recht leicht zu zeigen, oder?
Viele Grüße
Matthias
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