Eindeutigkeit von Dichten < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Sa 24.10.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich bereite mich für eine Prüfung vor und gehe die komplette Vorlesung zurzeit durch...Da diese aber sehr knapp geschieben wurdem und zum Teil nur Stichpunkte enthält, habe ich teilweise Schwierigkeiten den Sachverhalt nachzuvollziehen. Wie z.B im folgenden Gegenbeispiel.
Das Gegenbeispiel bezieht sich auf das folgen Lemma:
Seine [mm] f, g \ge 0 [/mm].
(a) [mm] f = g \ \mu [/mm] f.ü. [mm] \Rightarrow f \mu = g \mu [/mm]
(b) Ist f oder g integrierbar, so gilt die Umkehrung von (a)
Gegenbeispiel :
[mm] \mu [/mm] triviales Maß auf [mm] ( \mathbb{R} , \mathcal B ) [/mm] .
[mm] \mu(A)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn } A \ne \emptyset \\
\infty, & sonst
\end{matrix}\right.
[/mm]
(1) [mm] \forall \ k > 0 \ \ k \mu = \mu [/mm]
(2) [mm] \epsilon_{0} \ll \mu [/mm] aber [mm] \epsilon_0 [/mm] keine [mm] \mu [/mm] - Dichte.
[mm] f \ge 0 [/mm] [mm] \integral f 1_A d \mu=\left\{\begin{matrix}
\infty, & sonst \\
0, & \mbox{wenn } f 1_A = 0
\end{matrix}\right.
[/mm]
Ich kann gerade nicht nachvollziehen warum dies das Gegenbeispiel ist ....
Ich hoffe, das jemand mir dabei hilft!
Vielen Dank!
Gruß
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:01 Sa 24.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Ich bereite mich für eine Prüfung vor und gehe die
> komplette Vorlesung zurzeit durch...Da diese aber sehr
> knapp geschieben wurdem und zum Teil nur Stichpunkte
> enthält, habe ich teilweise Schwierigkeiten den
> Sachverhalt nachzuvollziehen. Wie z.B im folgenden
> Gegenbeispiel.
>
> Das Gegenbeispiel bezieht sich auf das folgen Lemma:
>
> Seine [mm]f, g \ge 0 [/mm].
> (a) [mm]f = g \ \mu[/mm] f.ü. [mm]\Rightarrow f \mu = g \mu[/mm]
> (b) Ist f
> oder g integrierbar, so gilt die Umkehrung von (a)
>
>
> Gegenbeispiel :
>
> [mm]\mu[/mm] triviales Maß auf [mm]( \mathbb{R} , \mathcal B )[/mm] .
>
> [mm]\mu(A)=\left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn } A \ne \emptyset \\
\infty, & sonst
\end{matrix}\right.
[/mm]
Umgekehrt:
[mm]\mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{wenn } A \red{=} \emptyset \\ \infty, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
> (1) [mm]\forall \ k > 0 \ \ k \mu = \mu[/mm]
Egal welche positive reelle Zahl $k$ du wählst, das Maß ändert sich durch Multiplikation nicht, denn $k*0=0$.
Hier sind $f$ und $g$ konstante Funktionen, nämlich $f=k$ und $g=1$. Also sind $f$ und $g$ nicht [mm] $\mu$-fast [/mm] überall identisch. Es gilt aber [mm] $f\mu [/mm] =g [mm] \mu$, [/mm] auch wenn [mm] $k\not=1$ [/mm] ist. $f$ und $g$ sind nicht integrierbar, denn die Integrale [mm] $\int fd\mu=\infty$ [/mm] und [mm] $\int gd\mu=\infty$.
[/mm]
>
> (2) [mm]\epsilon_{0} \ll \mu[/mm] aber [mm]\epsilon_0[/mm] keine [mm]\mu[/mm] - Dichte.
Also das verstehe ich auch nicht
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 So 25.10.2009 | | Autor: | Irmchen |
Vielen lieben Dank!
Jetzt habe ich zumindest den größten Teil verstanden!
Viele Grüße
Irmchen
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