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| Aufgabe | n>0 und [mm] A=(a_{ij}) [/mm] eine quadratische Matrix mit Einträgen [mm] a_{ij}=0 \forall i\geq j[/mm].
Man soll zeigen: Eig(A;0) eindimensional [mm] \Leftrightarrow a_{i,i+1}\neq 0 [/mm] für alle [mm] 1\leq i < n [/mm] |
Hallo,
mit dieser Aufgabe habe ich so meine Probleme, selbst wenn ich denke, dass sie eigentlich recht einfach sein sollte.
Ich habe keinerlei Idee, wie ich den Beweis anfangen soll. Kann mir jemand helfen?
Also was ein Eigenraum ist, ist klar, nämlich ein Unterraum, der aufgespannt wird durch die Eigenvektoren zu einem Eigenwert (hier 0) und zusätzlich den Nullvektor enthält.
Dann habe ich mir erstmal noch Gedanken gemacht, wie A überhaupt aussieht. Für n=3 ergibt sich bei mir folgendes: [mm] \begin{pmatrix}0 & a_{12} & a_{13}\\
0 & 0 & a_{23}\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm]. Also jeweils obere Dreiecksmatrizen.
Jetz müsste ich doch irgendwie mit der Bedingung für Eigenvektoren argumentieren können, also [mm] A\cdot v=0\cdot v [/mm] oder?
Über einen Ansatz wäre ich sehr dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:40 Sa 18.04.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> n>0 und [mm]A=(a_{ij})[/mm] eine quadratische Matrix mit Einträgen
> [mm]a_{ij}=0 \forall i\geq j[/mm].
> Man soll zeigen: Eig(A;0)
> eindimensional [mm]\Leftrightarrow a_{i,i+1}\neq 0[/mm] für alle
> [mm]1\leq i < n[/mm]
>
> mit dieser Aufgabe habe ich so meine Probleme, selbst wenn
> ich denke, dass sie eigentlich recht einfach sein sollte.
>
> Ich habe keinerlei Idee, wie ich den Beweis anfangen soll.
> Kann mir jemand helfen?
>
> Also was ein Eigenraum ist, ist klar, nämlich ein
> Unterraum, der aufgespannt wird durch die Eigenvektoren zu
> einem Eigenwert (hier 0) und zusätzlich den Nullvektor
> enthält.
Hier geht es sogar noch "einfacher": der Eigenraum zum Eigenwert 0 ist schlichtweg der Kern.
> Dann habe ich mir erstmal noch Gedanken gemacht, wie A
> überhaupt aussieht. Für n=3 ergibt sich bei mir folgendes:
> [mm]\begin{pmatrix}0 & a_{12} & a_{13}\\
0 & 0 & a_{23}\\
0 & 0 & 0\end{pmatrix}[/mm].
> Also jeweils obere Dreiecksmatrizen.
> Jetz müsste ich doch irgendwie mit der Bedingung für
> Eigenvektoren argumentieren können, also [mm]A\cdot v=0\cdot v[/mm]
> oder?
Ueberleg dir lieber was zum Kern. Das ist einfacher :)
Hier siehst du sofort dass der Vektor [mm] $\vektor{ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0}$ [/mm] im Kern liegt. Damit ist der Kern mindestens eindimensional.
Wenn jetzt [mm] $a_{12} \neq [/mm] 0$, [mm] $a_{23} \neq [/mm] 0$ sind, dann ist die Matrix in Zeilenstufenform und hat Rang $2$. Damit ist der Kern eindimensional.
Was ist jetzt, wenn [mm] $a_{12} [/mm] = 0$ oder [mm] $a_{23} [/mm] = 0$ ist (oder beide)? Kannst du dann etwas ueber die Dimension des Kernes sagen? Oder, equivalent, ueber den Rang der Matrix?
Und dann, hast du eine Idee wie du das auf $n [mm] \times [/mm] n$ anstelle $3 [mm] \times [/mm] 3$ verallgemeinern kannst? (Wenn nicht, beschaeftige dich erstmal mit dem $3 [mm] \times [/mm] 3$-Fall bis du den verstanden hast.)
LG Felix
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> Wenn jetzt [mm]a_{12} \neq 0[/mm], [mm]a_{23} \neq 0[/mm] sind, dann ist die
> Matrix in Zeilenstufenform und hat Rang [mm]2[/mm]. Damit ist der
> Kern eindimensional.
>
> Was ist jetzt, wenn [mm]a_{12} = 0[/mm] oder [mm]a_{23} = 0[/mm] ist (oder
> beide)? Kannst du dann etwas ueber die Dimension des Kernes
> sagen? Oder, equivalent, ueber den Rang der Matrix?
In diesem Fall ist die Matrix dann noch nicht in Zeilenstufenform. Der Rang ist dann 1 und damit der Kern 2. Also wenn das nicht gilt, ist der Eigenraum auch nicht 1-D.
> Und dann, hast du eine Idee wie du das auf [mm]n \times n[/mm]
> anstelle [mm]3 \times 3[/mm] verallgemeinern kannst? (Wenn nicht,
> beschaeftige dich erstmal mit dem [mm]3 \times 3[/mm]-Fall bis du
> den verstanden hast.)
>
> LG Felix
>
Ich habe jetzt mal die "Hin-Richtung" versucht. Ist aber ehrlich gesagt sehr kurz, was mir schon fast komisch vorkommt.
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Sei Eig(A;0) eindimensional[mm]\Rightarrow dim(ker(A))=1\Rightarrow rg(A)=n-1[/mm].
Da vorausgesetzt [mm] a_{ij}=0\,\,\,\forall i\geq j [/mm] ist A eine obere Dreiecksmatrix. In ihrer n-ten Zeile stehen nur nullen.
[mm] \Rightarrow a_{i,i+1}\neq0\,\,\,\forall1\leq i
Kann mans so machen? Fehlen noch Zwischenschritte?
Wenn ich nun die Rück-Richtung beweise, würde ich wieder so vorgehen, dass aus den Bedingungen folgt rg(A)=n-1 und so weiter. Wird dann genauso kurz. Falls das oben stehende stimmt, dann müsste das auch so gehen oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mo 20.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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