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Hallo,
bin derzeit bißchen schusselig, daher brauch ich dringend eine aussagekräftige hilfe bei der fo0lgenden Aufgabe:
Eine Dualität
Ist M eine Menge, so bezeichne P(M) die Menge der Teilmengen von M. Sei f: M [mm] \to [/mm] N eine Abbildung. Für jede Teilmenge B von N ist dann das Urbild [mm] $\{m\in M | f(m)\in B\}$ [/mm] eine Teilmenge von M. Das definiert eine Abbildung
P(f) : P(n) [mm] \to [/mm] P(M). Genau dann ist f injektiv, wenn P(f) surjektiv ist. Genau dann ist f surjektiv wenn P(f) injektiv ist.
Bitte um einige ausführliche Hilfen.
Danke im Vorraus.
PS: hatte angedacht mit Hilfe der Potenzreihen gesetze vorzugehn, aber das funktionierte nicht.
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verzweifel auch an der Aufgabe, allerdings versteh ich überhaupt nicht was du da mit potenzreihen machen willst, hat doch null damit zu tun oder seh ich da jetzt was völlig falsch
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das weiß ich nu auch, aber irgendwer gab mir gestern, vorgestern meinich nach der vorlesung den tipp. und ich versuchte es, aber naja war fehlschlag, brauch dahingehend dringend hilfe.
PS@cheetah hast du die 14 von dem aufgabenzettel, btw. fragen tu?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 So 14.11.2004 | | Autor: | cheetah_83 |
bei der 14 hab ich wenigstens etwas mit quotientenkriterium, aber auch nix vernünftiges ausser ner langen ungleichung
aber bei der 16 hier weiss ich gar nix
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du weißt wie das geht? dan poste mal diene löösung in meiner frage cheetah, bitte
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:18 Mo 15.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
> bin derzeit bißchen schusselig, daher brauch ich dringend
> eine aussagekräftige hilfe bei der fo0lgenden Aufgabe:
>
> Eine Dualität
> Ist M eine Menge, so bezeichne P(M) die Menge der
> Teilmengen von M. Sei f: M [mm]\to[/mm] N eine Abbildung. Für jede
> Teilmenge B von N ist dann das Urbild [mm]\{m\in M | f(m)\in B\}[/mm]
> eine Teilmenge von M. Das definiert eine Abbildung
> P(f) : P(n) [mm]\to[/mm] P(M). Genau dann ist f injektiv, wenn P(f)
> surjektiv ist. Genau dann ist f surjektiv wenn P(f)
> injektiv ist.
Wir haben hier zwei "genau dann wenn"-Aussagen, also sind vier Folgerichtungen/Einzelbeweise zu führen.
Ich führe mal die erste Richtung vor, die restlichen Implikationen dürften vergleichbar sein.
$f: [mm] M\to [/mm] N$
$P(f): [mm] \mathcal{P}(N)\to \mathcal{P}(M)$ [/mm] mit [mm] $B\mapsto \{m\in M\ |\ f(m)\in B\}$
[/mm]
Voraussetzung: f injektiv
Behauptung: P(f) surjektiv
Beweis: Sei [mm] $A\in \mathcal{P}(M)$ [/mm] (A ist also ein Element des  Zielbereichs von P(f).
Zu zeigen ist, dass ein [mm] $B\in \mathcal{P}(N)$ [/mm] existiert, so dass [mm] $A=\{m\in M\ |\ f(m)\in B\}$
[/mm]
Naheliegend ist doch, $B:=f(A)$ zu wählen, ich zeige jetzt, dass dieses B tatsächlich durch die Abbildung $P(f)$ auf A abgebildet wird, dass also gilt:
[mm] $A=\{m\in M\ |\ f(m)\in f(A)\}$
[/mm]
Diese Mengengleichung besteht aus zwei Inklusionen:
[mm] "$\subseteq$": [/mm] Sei [mm] $a\in [/mm] A$ [mm] $\Rightarrow$ $f(a)\in [/mm] f(A)$ (hier gab es fast nichts zu zeigen)
[mm] "$\supseteq$": [/mm] Sei [mm] $a\in \{m\in M\ |\ f(m)\in f(A)\}$
[/mm]
Diese Inklusion ist schon interessanter:
[mm] $\Rightarrow$ $f(a)\in [/mm] f(A)$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Es existiert [mm] $a_2\in [/mm] A$ mit [mm] $f(a)=f(a_2)$ $\Rightarrow$ [/mm] (f injektiv) [mm] $a=a_2$ $\Rightarrow$ $a\in [/mm] A$.
Das war's auch schon, ich habe gezeigt, dass B:=f(A) ein Urbild von A unter der Abbildung P(f) ist, dass P(f) also surjektiv ist.
Probier' die anderen Implikationen nun selbst und schreibe uns die Ergebnisse zu Kontrolle. Oder stelle weitere Fragen 
> PS: hatte angedacht mit Hilfe der Potenzreihen gesetze
> vorzugehn, aber das funktionierte nicht.
Kommst du deswegen darauf, weil in der der Aufgabe von Potenzmengen die Rede ist? Das hat mit Potenzreihen tatsächlich nichts zu tun
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:01 Fr 14.11.2008 | | Autor: | Schiman |
Hallo, es tut mir leid, dass ich nochmal diese Forenleiche ausgrabe ;), aber ich habe eine weitere Frage zu dem Thema. Leider ist hier ja die Diskussion abgebrochen.
Den Beweis von Marc habe ich verstanden und auch nachvollziehen können. Nun muss ich einen Beweis führen, der genau umgekehrt ist (nicht die andere Richtung).
Und zwar soll ich beweisen: Wenn f surjektiv, dann ist P(f) injektiv.
Natürlich möchte ich nicht unbedingt, dass mir einfach die Lösung präsentiert wird :). Es wäre nett, wenn mir jemand ein paar Denkanstöße geben könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 Mi 19.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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