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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Do 28.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
fuer die Beantwortung einer Frage im MR benoetige ich
[mm] $\sum_{n=k}^\infty\binom{n}{k}x^n$.
[/mm]
Mathematica liefert das Ergebnis [mm] $x^k/(1-x)^{k+1}$. [/mm] Kann mir bitte jemand mitteilen, wo ich dieses Ergebnis im Internet finde? Insbesondere was der Konvergenzradius ist. Ich vermute $|x|<1$.
Danke.
vg Luis
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Hallo Luis,
> Moin,
>
> fuer die Beantwortung einer Frage im MR benoetige ich
>
> [mm]\sum_{n=k}^\infty\binom{n}{k}x^n[/mm].
>
> Mathematica liefert das Ergebnis [mm]x^k/(1-x)^{k+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
. Kann mir
> bitte jemand mitteilen, wo ich dieses Ergebnis im Internet
> finde?
Das weiß ich leider nicht, aber man kann es sich so überlegen:
Für $|x|<1$ ist $\sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$ (geometr. Reihe)
beide Seiten k-mal abgeleitet:
$\Rightarrow \sum\limits_{n=k}^{\infty}n(n-1)(n-2)\cdot{}....\cdot{}(n-k+1)x^{n-k}=\frac{k!}{(1-x)^{k+1}}$
$\gdw x^{-k}\cdot{}\sum\limits_{n=k}^{\infty}n(n-1)(n-2)\cdot{}....\cdot{}(n-k+1)x^{n}=\frac{k!}{(1-x)^{k+1}$
Nun auf beiden Seiten durch $k!$ teilen und mit $x^k$ multiplizieren:
$\Rightarrow \sum\limits_{n=k}^{\infty}\frac{n(n-1)....(n-k+1)}{k!}x^n=\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}$
$\gdw \sum\limits_{n=k}^{\infty}\vektor{n\\k}x^n=\frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}$
Insbesondere was der Konvergenzradius ist. Ich
> vermute [mm]|x|<1[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das gilt direkt wegen der Umformung mit der geometr. Reihe, folgt aber auch leicht mit dem Quotientenkriterium ...
>
> Danke.
>
> vg Luis
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Do 28.05.2009 | | Autor: | luis52 |
Hey clever, schachuzipus. Danke. 
vg Luis
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