Eine Sequenz von K-Vektorräumen und linearen Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 08:52 Fr 04.06.2004 | | Autor: | mausi |
Och die Aufgaben werden immer schwerer,so ein Mist
Eine Sequenz von K-Vektorräumen und linearen Abbildungen
[mm] ....->V_i_-_1->V_i->v_i_+_1->...
[/mm]
(über dem 2. Pfeil steht [mm] \varphi_i_-_1 [/mm] über dem 3. [mm] \varphi_i [/mm] )
heisst exakt an der Stelle i,falls [mm] Im(\varphi_i)= Ker(\varphi_i_+_1),sie [/mm] heisst exakt,wenn sie an allen Stellen exakt ist.Die Sequenz
[mm] 0->V_1->V_2->V_3->0 [/mm] sei exakt ( über dem 2. Pfeil steht [mm] \varphi_1, [/mm] überm 3. [mm] \varphi_2)
[/mm]
Man zeige:
a) [mm] \varphi_1 [/mm] ist injektiv
b) [mm] \varphi_2 [/mm] ist surjektiv
c) [mm] dim(V_2) [/mm] = [mm] dim(V_1) [/mm] + [mm] dim(V_3)
[/mm]
(Dabei steht 0 für den trivialen Vektorraum {0}, und 0->V bzw
V->0 sind die durch 0 |->0 bzw v |->0 (für alle veV) definierten linearen Abbildung)
so ich hoffe ich hab die Aufgabe einigermassen verständlich aufgeschrieben
vieleicht kann das mal einer erklären,das wäre lieb,ich hab nämlich kein Plan und das sieht mir schon wieder wie ein Beweis aus,da komme ich nie selber drauf leider...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:11 Fr 04.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Mausi!
> Och die Aufgaben werden immer schwerer,so ein Mist
>
> Eine Sequenz von K-Vektorräumen und linearen Abbildungen
> [mm] ....->V_i_-_1->V_i->v_i_+_1->...
[/mm]
> (über dem 2. Pfeil steht [mm] \varphi_i_-_1 [/mm] über dem 3.
> [mm] \varphi_i [/mm] )
> heisst exakt an der Stelle i,falls [mm] Im(\varphi_i)= [/mm]
> [mm] Ker(\varphi_i_+_1),sie [/mm] heisst exakt,wenn sie an allen
> Stellen exakt ist.Die Sequenz
> [mm] 0->V_1->V_2->V_3->0 [/mm] sei exakt ( über dem 2. Pfeil steht
> [mm] \varphi_1, [/mm] überm 3. [mm] \varphi_2)
[/mm]
> Man zeige:
> a) [mm] \varphi_1 [/mm] ist injektiv
Hier muss du zeigen:
[mm] $Ker(\varphi_1) [/mm] = [mm] \{0\}$.
[/mm]
Es gilt aber aufgrund der Exaktheit der Sequenz: [mm] $Ker(\varphi_1) [/mm] = Im(0 [mm] \to V_1) [/mm] = [mm] \{0\}$.
[/mm]
> b) [mm] \varphi_2 [/mm] ist surjektiv
Hier muss du zeigen:
[mm] $Im(\varphi_2) [/mm] = [mm] V_3$.
[/mm]
Es gilt aber aufgrund der Exaktheit der Sequenz: [mm] $Im(\varphi_2) [/mm] = [mm] Ker(V_3 \to [/mm] 0) = [mm] V_3$.
[/mm]
> c) [mm] dim(V_2) [/mm] = [mm] dim(V_1) [/mm] + [mm] dim(V_3)
[/mm]
Es gilt:
[mm] $dim(V_2)$
[/mm]
$ = [mm] dim(Im(\varphi_2)) [/mm] + [mm] dim(Ker(\varphi_2))$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(b),Exaktheit}{=} dim(V_3) [/mm] + [mm] dim(Im(\varphi_1))$
[/mm]
$= [mm] dim(V_3) [/mm] + [mm] (dim(V_1) [/mm] - [mm] dim(Ker(\varphi_1))$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(a)}{=} [/mm] dim [mm] (V_3) [/mm] + dim V(_1)$.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:25 Mi 09.06.2004 | | Autor: | mausi |
Hat jemand anderes vieleicht noch ne Idee zu dieser Aufgabe,denn ich weiss gar nix damit anzufangen.Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:36 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ich habe dir die Aufgabe doch fast komplett vorgerechnet. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Wo ist denn da jetzt noch das Problem?
Ich ergänze in meiner alten antwort noch was zu c).
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Mi 09.06.2004 | | Autor: | mausi |
ich wollte nochmal wissen wie man injektiv und surjektiv zeigt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:46 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo mausi
> ich wollte nochmal wissen wie man injektiv und surjektiv
> zeigt
>
Dazu sollte man sich einfach die Definitionen dieser Begriffe gut einprägen.
Es seien $M$, $N$ Mengen. Eine Abbildung $f: M [mm] \to [/mm] N$ heisst
a) injektiv, falls für alle $a, b [mm] \in [/mm] M$ mit $a [mm] \not [/mm] = b$ immer $f(a) [mm] \not [/mm] = f(b)$ ist
b) surjektiv, falls es für jedes $c [mm] \in [/mm] N$ ein $a [mm] \in [/mm] M$ gibt mit $f(a)=c$
c) bijektiv, falls $f$ zugleich injektiv und surjektiv ist.
Was ist jetzt zu zeigen?
a) bedeutet doch, dass man nicht 2 verschiedene Elemente aus $M$ finden darf, die das gleiche Element aus $N$ als Bild haben. Oder anders ausgedrückt: das Urbild eines Elementes aus $N$ ist, falls vorhanden, eindeutig bestimmt.
Ein Beispiel: $f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \, f(x)=x^2$ [/mm] ist nicht injektiv, weil zum Beispiel $2$ und $-2$ das gleiche Bild haben, nämlich $4$.
$f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \, f(x)=x^3$ [/mm] ist hingegen injektiv, weil sich keine unterschiedliche reelle Zahlen finden lassen, die durch Hoch-drei-Rechnen das gleiche Resultat ergeben.
Für b) müsstest du einfach zeigen, dass jedes Element aus $N$ auch ein Urbild hat. Oder auch andersherum: wenn du auch nur ein Element aus $N$ findest, das kein Urbild hat, dann ist die Funktion nicht injektiv.
Ein Beispiel: $f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \, f(x)=x^2$ [/mm] ist nicht surjektiv, weil zum Beispiel $-4$ nicht das Quadrat einer reellen Zahl ist.
Wäre aber $f: [mm] \mathbb{C} \to \mathbb{C}; \, f(x)=x^2$ [/mm] definiert, dann wäre $f$ eben surjektiv, weil sich aus jeder komplexen Zahl die Wurzel ziehen lässt.
$f: [mm] \mathbb{R} \to \mathbb{R}; \, f(x)=x^3$ [/mm] ist sujektiv, weil man aus jeder reellen Zahl die 3. Wurzel ziehen kann. 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:52 Mi 09.06.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Mausi!
> ich wollte nochmal wissen wie man injektiv und surjektiv
> zeigt
Falls die Frage auf die konkrete Aufgabe bezogen war (was ich vermute), dann schau dir meine Antwort bitte noch einmal an. Das habe ich doch gezeigt. Ich habe gezeigt: [mm] $Kern(\varphi_1)=\{0\}$. [/mm] Daraus folgt, da [mm] $\varphi_1$ [/mm] linear ist, dass [mm] $\varphi_1$ [/mm] injektiv ist. Ich habe gezeigt: [mm] $Bild(\varphi_2)=V_3$. [/mm] Daraus folgt, dass [mm] $\varphi_2$ [/mm] surjektiv ist.
Liebe Grüße
Julis
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