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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | | Eine Gruppe G heißt einfach, wenn [mm] {e_{G}} [/mm] und G die einzigen Normalteiler in G sind. Zeigen Sie, dass es keine einfache Gruppe der Ordnung pq gibt, wobei p,q [mm] \in \IN [/mm] prim sind. |
Hallo 
Habe mich an dieser Aufgabe versucht, habe aber die Befürchtung, dass sich evtl. der eine oder andere Logikfehler eingeschlichen haben könnte:
Nach den Sylowsätzen gilt:
ord G = pq [mm] \Rightarrow \exists U_{p},U_{q} \subset [/mm] G mit ord [mm] U_{p} [/mm] = p und ord [mm] U_{q} [/mm] = q.
Hieraus folgt: ord [mm] U_{p} [/mm] = p, prim [mm] \Rightarrow U_{p} [/mm] zyklisch. Ebenso [mm] U_{q}.
[/mm]
Außerdem gilt:
G [mm] \cong U_{p} \times U_{q} \cong \IZ_{p}\times\IZ_{q} \cong \IZ_{pq}
[/mm]
Da [mm] \IZ_{pq} [/mm] zyklisch [mm] \Rightarrow [/mm] G zyklisch [mm] \Rightarrow [/mm] G abelsch
Da G eine abelsche Gruppe ist, sind alle Untergruppen von G Normalteiler. [mm] U_{p}, U_{q} \subset [/mm] G Untergruppen von G [mm] \Rightarrow U_{p}, U_{q} [/mm] Normalteiler [mm] \Rightarrow [/mm] G keine einfache Gruppe [mm] \Box
[/mm]
Könnte man das so angehen? Würde mich über Kritik freuen
LG,
DrRiese
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Sa 23.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Eine Gruppe G heißt einfach, wenn [mm]{e_{G}}[/mm] und G die
> einzigen Normalteiler in G sind. Zeigen Sie, dass es keine
> einfache Gruppe der Ordnung pq gibt, wobei p,q [mm]\in \IN[/mm] prim
> sind.
> Hallo
> Habe mich an dieser Aufgabe versucht, habe aber die
> Befürchtung, dass sich evtl. der eine oder andere
> Logikfehler eingeschlichen haben könnte:
>
>
> Nach den Sylowsätzen gilt:
> ord G = pq [mm]\Rightarrow \exists U_{p},U_{q} \subset[/mm] G mit
> ord [mm]U_{p}[/mm] = p und ord [mm]U_{q}[/mm] = q.
>
> Hieraus folgt: ord [mm]U_{p}[/mm] = p, prim [mm]\Rightarrow U_{p}[/mm]
> zyklisch. Ebenso [mm]U_{q}.[/mm]
Soweit stimmt alles...
>
> Außerdem gilt:
>
> G [mm]\cong U_{p} \times U_{q} \cong \IZ_{p}\times\IZ_{q} \cong \IZ_{pq}[/mm]
... aber dieser Schluss ist falsch. $G$ muss keineswegs abelsch sein.
Fuehre eine Fallunterscheidung $p=q$ und [mm] $p\neq [/mm] q$ durch. Im zweiten Fall zaehle die Anzahl der Elemente der Ordnung $p$ bzw $q$. Daraus laesst sich ableiten, dass eine der Sylowgruppen normal sein muss.
>
> Da [mm]\IZ_{pq}[/mm] zyklisch [mm]\Rightarrow[/mm] G zyklisch [mm]\Rightarrow[/mm] G
> abelsch
> Da G eine abelsche Gruppe ist, sind alle Untergruppen von
> G Normalteiler. [mm]U_{p}, U_{q} \subset[/mm] G Untergruppen von G
> [mm]\Rightarrow U_{p}, U_{q}[/mm] Normalteiler [mm]\Rightarrow[/mm] G keine
> einfache Gruppe [mm]\Box[/mm]
>
> Könnte man das so angehen? Würde mich über Kritik freuen
>
>
> LG,
> DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Sa 23.11.2013 | | Autor: | DrRiese |
Hey, danke für die Antwort
Echt, ich dachte G [mm] \cong U_{p}\times U_{q} \cong \IZ_{p}\times \IZ_{q} \cong \IZ_{pq}. [/mm] Und da G [mm] \cong \IZ_{pq} [/mm] folgt die abelsche Eigenschaft?
Ok,.. sei p=q [mm] \Rightarrow [/mm] ord G = [mm] p^{2} \Rightarrow [/mm] G abelsch [mm] \Rightarrow [/mm] Jede Untergruppe von G Normalteiler, z.B. [mm] U_{p}, U_{q}, [/mm] also G nicht einfach.
Sei p [mm] \not= [/mm] q:
Hm, ich wüsste jetzt leider gar nicht, wie man die Elemente einer Ordnung zählen kann. Hatten das in der Vorlesung gar nicht und im Internet waren die Hinweise dazu auch recht spärlich... :-(
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 23.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Hey, danke für die Antwort
>
> Echt, ich dachte G [mm]\cong U_{p}\times U_{q} \cong \IZ_{p}\times \IZ_{q} \cong \IZ_{pq}.[/mm]
> Und da G [mm]\cong \IZ_{pq}[/mm] folgt die abelsche Eigenschaft?
>
> Ok,.. sei p=q [mm]\Rightarrow[/mm] ord G = [mm]p^{2} \Rightarrow[/mm] G
> abelsch [mm]\Rightarrow[/mm] Jede Untergruppe von G Normalteiler,
> z.B. [mm]U_{p}, U_{q},[/mm] also G nicht einfach.
Richtig.
>
> Sei p [mm]\not=[/mm] q:
> Hm, ich wüsste jetzt leider gar nicht, wie man die
> Elemente einer Ordnung zählen kann. Hatten das in der
> Vorlesung gar nicht
Zaehlen muss wohl nicht in der Vorlesung besprochen werden. Aber: wende die Sylowsaetze zur Anzahl der Sylowgruppen an und schliesse dann auf die Anzahl der Elemente, die in allen moeglichen Sylowgruppen liegen.
und im Internet waren die Hinweise dazu
> auch recht spärlich... :-(
Buecher! Lehrbuecher! Die Bibliothek ist voll davon.
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 So 24.11.2013 | | Autor: | DrRiese |
Okidoki ^^
Also...
Sei p [mm] \not= [/mm] q:
Wir betrachten die Anzahl [mm] n_{p} [/mm] der p-Sylowgruppen. Hierbei gilt:
[mm] n_{p}|q [/mm] und [mm] p|n_{p}-1
[/mm]
Aus der ersten Bedingung folgt [mm] n_{p} \in \{1,q\}, [/mm] aus der zweiten folgt schließlich [mm] n_{p}=1. [/mm] Es gibt also nur eine p-Sylowgruppe [mm] U_{p}. [/mm] Also ist [mm] U_{p} [/mm] normal, da gilt [mm] gU_{p}g^{-1}, [/mm] g [mm] \in [/mm] G, ist wieder eine p-Sylowgruppe. Da wir nur eine p-Sylowgruppe [mm] U_{p} [/mm] haben, folgt [mm] gU_{p}g^{-1}=U_{p}
[/mm]
Bin mir stark unsicher, könnte man das so machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:02 So 24.11.2013 | | Autor: | hippias |
Das ist genau der richtige Weg. Aber so ist es noch lueckenhaft, denn $p$ war ja irgendeine der beiden Primzahlen, sodass ebenso folgen muesste, dass $G$ auch nur eine $q$-Sylowgruppe enthaelt; aber dann waere wieder $G [mm] \cong U_{p}\times U_{q}$, [/mm] was aber nicht der Fall sein muss.
Sagen wir, $p$ ist die groessere der beiden Primzahlen. Versuche unter dieser Voraussetzung zu schlussfolgern, dass $G$ nur eine $p$-Sylowgruppe hat (die dann ein Normalteiler ist).
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:28 Di 26.11.2013 | | Autor: | DrRiese |
Könnte man das so begründen?
Sei p > q:
Sei [mm] U_{p} \in Syl_{p}(G). [/mm] Dann ist [mm] |U_{p}| [/mm] = p und es gilt:
[mm] |Syl_{p}(G)| [/mm] teilt [mm] |G:U_{p}|=q, [/mm] also ist [mm] |Syl_{p}(G)|=1 [/mm] oder q. Da [mm] |Syl_{p}(G)| \equiv [/mm] 1 mod p folgt: [mm] |Syl_{p}(G)|=1.
[/mm]
Also ist [mm] U_{p} [/mm] die einzige p-Sylowgruppe. Es gilt [mm] gU_{p}g^{-1}, [/mm] g [mm] \in [/mm] G, wieder eine p-Sylowgruppe. Da Konjugation ein Automorphismus [mm] \phi: [/mm] U [mm] \rightarrow [/mm] U darstellt und somit nicht gelten kann [mm] gU_{p}g^{-1}=U_{q} [/mm] folgt [mm] gU_{p}g^{-1} [/mm] = [mm] U_{p}, [/mm] also [mm] U_{p} [/mm] Normalteiler in G. Da [mm] U_{p} \not=\{ e_{G},G\} [/mm] folgt G ist nicht einfach.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 28.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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