Einfache(?) Kongruenz zeigen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:40 Mi 24.03.2010 | | Autor: | kickerle |
Hallo zusammen,
ich sitze nun seit geraumer Zeit vor folgendem Problem und sehe wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr. Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Zu zeigen ist:
Ist d eine natürliche Zahl mit
-d ist quadratischer Rest modulo einer ungeraden Primzahl p und
-d ist kongruent 1 modulo 2
dann gilt
-d ist quadratischer Rest modulo 2p
Vielen Dank.
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Hallo kickerle,
> Hallo zusammen,
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> ich sitze nun seit geraumer Zeit vor folgendem Problem und
> sehe wahrscheinlich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr.
> Wäre nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
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> Zu zeigen ist:
> Ist d eine natürliche Zahl mit
>
> -d ist quadratischer Rest modulo einer ungeraden Primzahl p
> und
> -d ist kongruent 1 modulo 2
>
> dann gilt
>
> -d ist quadratischer Rest modulo 2p
>
Diese Aufgabe kannst Du z.B. durch sukzessives Einsetzen lösen.
Beginne hier mit [mm]z \in \IN[/mm], für dessen Quadrat gilt:
[mm]z^{2} \equiv d \ \left(p\right) \Rightarrow z^{2}= \ ...[/mm]
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> Vielen Dank.
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Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Do 08.04.2010 | | Autor: | kickerle |
Meinst du das in etwa so:
Wegen [mm] \left(\frac{-d}{p}\right)=1[/mm] existiert ein x, derart, dass [mm]x^2\equiv -d\pod{p}[/mm] gilt, da -d ungerade ist muss auch [mm]x^2[/mm] ungerade sein d.h. es gilt [mm] x^2\equiv 1\pod{2}[/mm]. Aus [mm]x^2\equiv -d\pod{p}[/mm] und [mm] x^2\equiv -d\pod{2}[/mm] folgt aber [mm]x^2\equiv -d\pod{2p}[/mm].
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Hallo kickerle,
> Meinst du das in etwa so:
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> Wegen [mm]\left(\frac{-d}{p}\right)=1[/mm] existiert ein x, derart,
> dass [mm]x^2\equiv -d\pod{p}[/mm] gilt, da -d ungerade ist muss
> auch [mm]x^2[/mm] ungerade sein d.h. es gilt [mm]x^2\equiv 1\pod{2}[/mm]. Aus
> [mm]x^2\equiv -d\pod{p}[/mm] und [mm]x^2\equiv -d\pod{2}[/mm] folgt aber
> [mm]x^2\equiv -d\pod{2p}[/mm].
Ich mein das so:
[mm]z^{2} \equiv d \ \let(p\right) \Rightarrow z^{2} = k*p+d, \ k \in \IN_{0}[/mm]
Dies jetzt in die Bedingung [mm] z^{2} \equiv 1 \ \left(2\right)[/mm] eingesetzt,
liefert
[mm]k*p+d \equiv 1 \left(2\right)[/mm]
Bestimme hieraus nun die Eigenschaft von k.
Gruss
MathePower
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