Einfacher Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:01 Do 25.10.2007 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Man zeige mit vollständiger Induktion:
[mm] n^{2} \le 2^{n}, [/mm] für alle n > 3. |
Ich weiss, es wäre eigentlich ein sehr einfacher Beweis, ich sehe ihn aber leider gerade nicht.
Induktionsanfang ist natürlich klar. Aber dann kommt der Induktionsschritt:
[mm] (n+1)^{2} \le 2^{n+1} [/mm] und da weiss ich nicht genau, wie man dies zeigen kann.
|
|
| |
|
Hallojokerose!
Beginnen wir mal mit [mm] $2^{n+1}$ [/mm] ...
[mm] $$2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^n*2^1 [/mm] \ = \ [mm] 2*\red{2^n} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ ...$$
Nun für [mm] $2^n$ [/mm] die Induktionsvoraussetzung einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Do 25.10.2007 | | Autor: | jokerose |
Hallo Roadrunner ,
Danke für die schnelle Antwort.
Also so weit bin ich auch bereits gekommen.
Die Gleichung sieht dann folgendermassen aus:
[mm] (n+1)^{2} \le [/mm] 2 [mm] \* n^{2}
[/mm]
Auf der linken Seite habe ich dann ausmulipliziert und [mm] n^{2} [/mm] + [mm] 2\*n [/mm] + 2 erhalten. Dann habe ich auf beiden Seiten [mm] n^{2} [/mm] subtrahiert und erhalte dann [mm] 2\*n [/mm] + 2 [mm] \le n^{2}.
[/mm]
Doch weiter komme ich nicht...!
|
|
|
| |
|
Hallo jokerose
Und?! ... Ist $2n+2 \ = \ 2*(n+1) \ [mm] \le [/mm] \ n*n \ = \ [mm] n^2$ [/mm] ein wahre Aussage?
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:35 Do 25.10.2007 | | Autor: | jokerose |
Ah ok.
Dann genügt dies also so?
Habe gedacht, das müsse man noch genauer zeigen.
Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
Hallo jokerose!
Wenn Du gezeigt hast, dass die Induktionsbehauptung wahr ist (durch Äquivalenzumformung sowie unter Anwendung der Induktionsvoraussetzung), ist der Induktionsnachweis erbracht.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
