Einfachste Aufgabe zur Faltung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien X, Y zwei auf [0,1] gleichverteilte ZV. Berechne die Dichte von X + Y. |
Guten Tag
Ich habe zwar schon Beiträge zu diesem Thema gefunden, wurde daraus aber nicht schlau. Intuitiv würde ich sagen, die Dichte müsste [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein.
Wie aber kann ich hier die Faltung berechnen:
[mm] f_{X+Y}(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{0 \le u \le 1} * 1_{0 \le t-u \le 1} du} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{1_{0 \le t-u \le 1} du}
[/mm]
Ich habe nun keine Ahnung, wie ich die Integrationsgrenzen ausmache mit der Bedingung:
t-1 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] t (und 0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le [/mm] 1 )
Irgendwie ist t-1 wohl kleiner als 0 ??? Wie ist da nun vorzugehen?
Grüsse
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Hallo pablovschby,
> Seien X, Y zwei auf [0,1] gleichverteilte ZV. Berechne die
> Dichte von X + Y.
> Guten Tag
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> Ich habe zwar schon Beiträge zu diesem Thema gefunden,
> wurde daraus aber nicht schlau. Intuitiv würde ich sagen,
> die Dichte müsste [mm]\bruch{1}{2}[/mm] sein.
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> Wie aber kann ich hier die Faltung berechnen:
Ich nehme an, [mm]X,Y[/mm] sind zudem unabh.?!
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> [mm]f_{X+Y}(t)=\integral_{-\infty}^{\infty}{1_{0 \le u \le 1} * 1_{0 \le t-u \le 1} du}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{1_{0 \le t-u \le 1} du}[/mm]
>
> Ich habe nun keine Ahnung, wie ich die Integrationsgrenzen
> ausmache mit der Bedingung:
>
> t-1 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] t (und 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le[/mm] 1 )
>
> Irgendwie ist t-1 wohl kleiner als 0 ??? Wie ist da nun
> vorzugehen?
[mm]f_{X+Y}(t)=\int\limits_{\IR}{1_{[0,1]}(u)\cdot{}1_{[0,1]}(t-u) \ du}[/mm]
Ziel ist es nun, die hintere Indikatorfunktion durch [mm]1_{\text{neues Intervall}}(u)[/mm] auszudrücken.
Es ist [mm]1_{[0,1]}(t-u)=1\gdw 0\le t-u\le 1[/mm]
[mm]\gdw t-1\le u\le t[/mm]
Mache dir das klar.
Damit kannst du das Faltungsintegral schreiben als [mm]\int\limits_{\IR}{1_{[0,1]}(u)\cdot{}1_{[t-1,t]}(u) \ du}[/mm]
Nun ist aber [mm]1_A(u)\cdot{}1_B(u)=1_{A\cap B}(u)[/mm]
Das kannst du ersetzen und musst überlegen, wann wohl die Indikatorfunktion über den Schnitt eine 1 liefert und wann eine 0 ...
>
> Grüsse
LG
schachuzipus
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Danke.
Genau und genau das war dann auch die Frage (1.Beitrag).
Dass t-1 immer kleiner 0 ist, würde ich mal sagen, dass 0 die linke Seite ist. Aber die Frage war ja:
Wie geht man da vor, um diese Schnittmenge zu finden? Was sind die Grenzen und warum?
Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Di 04.09.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
vielleicht kannst du hier Honig saugen.
vg Luis
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