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| Aufgabe | | Beim Nachrechnen meines Anfangsproblems [https://matheraum.de/read?i=956265] bin ich auf die Frage nach der korrekten Einführung eines Paramters gestoßen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen und vielen Dank an Diophant und Kaju35 für die Hinweise. Ich meinte es dann soweit begriffen zu haben, bis in der dritten Aufgabe eine Abweichung von der Musterlösung auftaucht, die darauf hindeutet, dass entweder ich was verchecke oder sich wer anders irrt.
Deshalb bitte ich Euch, meinen Ausführungen noch einmal zu folgen und Rechnung wie Überlegungen überall dort richtig zu stellen, wo was schief hängt.
Gegeben sind wieder zwei Ebenen, die erste als
[mm]
E : \left [ \begin{vec}x\end{vec} -
\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right ] \cdot
\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0 [/mm] und die Zweite [mm] F : 3x_1 - x_2 + x_3 = 1 [/mm] gleich in Koordinatenform.
Also entwickele ich mit Hilfe des Skalarproduktes von E erstmal die Koordinatenform, auf meinem Zettel:
[mm]E : \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\gdw E : -x_1 + 2x_2 + x_3 = -4 + 4 + 1
\gdw E : -x_1 + 2x_2 + x_3 = 1
[/mm]
Jetzt kommt der spannende Moment, ich ergänze die ursprüngliche Matrix von 2 x 3 zu 3 x 3, indem ich für [mm] x_3 [/mm] den Parameter t einführe und die Lösungen des Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Parameter t bestimme, richtig?
Mein Gleichungssystem sieht dann folgendermaßen aus:
[mm]
\begin{matrix}
-x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = 1 \\
3x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = 1 \\
& & & & x_3 & = t
\end{matrix}
[/mm]
Nach einigem Herumrechnen komme ich zu [mm] x_1 = \bruch{-3t}{5} - \bruch{1}{5}, x_2 = \bruch{-4t}{5} - \bruch{1}{5}[/mm] und [mm]x_3 = t [/mm].
Wenn ich das richtig verstanden habe, kann ich diese Koordinatengleichungen (jede einzelne beschreibt eine Komponente der Schnittgerade) jetzt wieder in einer Koordinatengleichung zusammenführen, nämlich in
[mm]
S : \begin{vec}s\end{vec} =
\begin{pmatrix}
- \bruch{1}{5} + \bruch{-3t}{5} \\
- \bruch{1}{5} + \bruch{-4t}{5} \\
0 + t
\end{pmatrix}
\gdw
S : \begin{vec}s\end{vec} =
\begin{pmatrix}
- \bruch{1}{5} \\
- \bruch{1}{5} \\
0
\end{pmatrix}
\cdot
t
\begin{pmatrix}
- \bruch{3}{5} \\
- \bruch{4}{5} \\
1
\end{pmatrix}
[/mm]
Ich bin da jetzt mehrfach hinterhergegangen und meine in der Rechnung soweit keine Fehler verursacht zu haben. Unglücklicherweise lautet die (natürlich unkommentierte) Musterlösung [mm]S : \begin{vec}s\end{vec} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
\cdot
t
\begin{pmatrix}
3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}
[/mm].
Die Unterschiede im Richtungsvektor kann ich mir leicht erklären. Mein Parameter t ist um den Faktor 5 zu klein geraten und als Richtungsvektor dem Vektor aus der Musterlösung entgegengesetzt - beides durch die Wahl eines anderen geeigneten Wertes zu kompensieren.
Was mich wirklich beunruhigt ist der unterschiedliche Stützvektor. Habe ich mich vielleicht doch irgenwo verrechnet oder womöglich was völlig verpeilt?
Vielen Dank im Voraus!
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Hallo,
> Beim Nachrechnen meines Anfangsproblems
> [https://matheraum.de/read?i=956265] bin ich auf die Frage
> nach der korrekten Einführung eines Paramters gestoßen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen und vielen Dank an Diophant und Kaju35 für
> die Hinweise. Ich meinte es dann soweit begriffen zu haben,
> bis in der dritten Aufgabe eine Abweichung von der
> Musterlösung auftaucht, die darauf hindeutet, dass
> entweder ich was verchecke oder sich wer anders irrt.
>
> Deshalb bitte ich Euch, meinen Ausführungen noch einmal zu
> folgen und Rechnung wie Überlegungen überall dort richtig
> zu stellen, wo was schief hängt.
>
> Gegeben sind wieder zwei Ebenen, die erste als
> [mm]
E : \left [ \begin{vec}x\end{vec} -
\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \right ] \cdot
\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0[/mm]
> und die Zweite [mm]F : 3x_1 - x_2 + x_3 = 1[/mm] gleich in
> Koordinatenform.
>
> Also entwickele ich mit Hilfe des Skalarproduktes von E
> erstmal die Koordinatenform, auf meinem Zettel:
>
> [mm]E : \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}
\gdw E : -x_1 + 2x_2 + x_3 = -4 + 4 + 1
\gdw E : -x_1 + 2x_2 + x_3 = 1
[/mm]
>
> Jetzt kommt der spannende Moment, ich ergänze die
> ursprüngliche Matrix von 2 x 3 zu 3 x 3, indem ich für
> [mm]x_3[/mm] den Parameter t einführe und die Lösungen des
> Gleichungssystem in Abhängigkeit vom Parameter t bestimme,
> richtig?
>
> Mein Gleichungssystem sieht dann folgendermaßen aus:
>
> [mm]
\begin{matrix}
-x_1 & + & 2x_2 & + & x_3 & = 1 \\
3x_1 & - & x_2 & + & x_3 & = 1 \\
& & & & x_3 & = t
\end{matrix}
[/mm]
>
> Nach einigem Herumrechnen komme ich zu [mm]x_1 = \bruch{-3t}{5} - \bruch{1}{5}, x_2 = \bruch{-4t}{5} - \bruch{1}{5}[/mm]
> und [mm]x_3 = t [/mm].
Du hast schlicht und ergreifend einen Rechenfehler drin. Rechne nochmal nach, als Tipp:
[mm] x_1=\bruch{3}{5}-\bruch{3}{5}t
[/mm]
da ist also der konsatnte Summand falsch,und von daher kommt auich für [mm] x_2 [/mm] etwas falsches heraus. Ansonsten ist deine Vorgehensweise richtig, bis auf das hier:
S : [mm] \begin{vec}s\end{vec} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} - \bruch{1}{5} \\ - \bruch{1}{5} \\ 0 \end{pmatrix} \cdot [/mm] t [mm] \begin{pmatrix} - \bruch{3}{5} \\ - \bruch{4}{5} \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Da muss natürlich ein Plus zwischen die Vektoren! Außerdem empfiehlt es sich, den Richtungsvektor noch so zu skalieren, dass er keine Brüche und möglichst wenig Minuszeichen enthält. Das erreicht man hier durch S-Multiplikation mit 5.
Gruß, Diophant
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