Eingeschränkte Metrik < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Sa 17.05.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | (X,d) metr. Raum und Y [mm] \subset [/mm] X versehen mit der eingeschränkten Metrik [mm] d_{Y}.
[/mm]
Zeige:
a) Eine Teilmenge U [mm] \subset [/mm] Y ist genau dann offen in (Y, [mm] d_{Y}), [/mm] wenn eine in (X,d) offene Teilmenge V existiert mit U = V [mm] \cap [/mm] Y.
b) Eine Teilmenge K [mm] \subset [/mm] Y ist genau dann kompakt in (Y, [mm] d_{Y}) [/mm] wenn sie kompakt in (X,d) ist. |
Hallo,
bei a) habe ich die Rückrichtung schon gezeigt. Bei die ersten Richtung hänge ich aber.
Sei U [mm] \subset [/mm] Y [mm] \subset [/mm] X offen in (Y, [mm] d_Y)
[/mm]
Sei [mm] \epsilon [/mm] >0. Dann ist [mm] B_{epsilon}(y) \subset [/mm] U für alle y [mm] \in [/mm] U, wobei
[mm] B_{epsilon}(y) [/mm] = {x [mm] \in [/mm] Y| d(x,y) [mm] \le \epsilon}
[/mm]
Wie mache ich dann weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Sa 17.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Hilft bei b der Satz von Heine Borel oder ist es besser ueber Folgen zu argumentieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 So 18.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Hallo.
Gibt es keine Ideen. ?
Wäre euch wirklich sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:31 So 18.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> (X,d) metr. Raum und Y [mm]\subset[/mm] X versehen mit der
> eingeschränkten Metrik [mm]d_{Y}.[/mm]
> Zeige:
> a) Eine Teilmenge U [mm]\subset[/mm] Y ist genau dann offen in (Y,
> [mm]d_{Y}),[/mm] wenn eine in (X,d) offene Teilmenge V existiert mit
> U = V [mm]\cap[/mm] Y.
> b) Eine Teilmenge K [mm]\subset[/mm] Y ist genau dann kompakt in
> (Y, [mm]d_{Y})[/mm] wenn sie kompakt in (X,d) ist.
> Hallo,
>
> bei a) habe ich die Rückrichtung schon gezeigt. Bei die
> ersten Richtung hänge ich aber.
>
> Sei U [mm]\subset[/mm] Y [mm]\subset[/mm] X offen in (Y, [mm]d_Y)[/mm]
> Sei [mm]\epsilon[/mm] >0. Dann ist [mm]B_{epsilon}(y) \subset[/mm] U für
> alle y [mm]\in[/mm] U,
Das ist i.a. falsch.
Ist x [mm] \in [/mm] U, so ex. ein [mm] r_x>0: B_{r_x}(x) \cap [/mm] Y [mm] \subseteq [/mm] U.
Wobei [mm] B_{r_x}(x) =\{z \in X: d(x,z)
Zeige :
[mm] $U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap [/mm] Y$
FRED
> wobei
> [mm]B_{epsilon}(y)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x [mm]\in[/mm] Y| d(x,y) [mm]\le \epsilon}[/mm]
> Wie mache
> ich dann weiter?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 So 18.05.2014 | | Autor: | rollroll |
$ [mm] U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap [/mm] Y $ [mm] =\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(y)). [/mm] Und damit wäre ja U schon offen in Y, oder?
Wie gehe ich bei b) vor? Welche Kompaktheits-Definition bringt einen da zum Ziel?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 So 18.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap Y[/mm] [mm]=\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(y)).[/mm]
Nach dem 2. "=" steht kompletter Unsinn !!
Setze [mm] V:=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)). [/mm] Dann ist U = V [mm] \cap [/mm] Y. Ist V offen (in X) ?
> Und damit wäre ja U schon offen in Y, oder?
>
> Wie gehe ich bei b) vor? Welche Kompaktheits-Definition
> bringt einen da zum Ziel?
Warum probierst Du das nicht aus ???
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 So 18.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Ja, V ist offen in X als Vereinigung offener Mengen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:08 So 18.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ja, V ist offen in X als Vereinigung offener Mengen.
Richtig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:10 So 18.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Ich verstehe allerdings immer noch nicht ganz, was ich erhalte, wenn ich $ [mm] U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap [/mm] Y $ bilde. Warum erhalte ich dann schon U?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:07 So 18.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich verstehe allerdings immer noch nicht ganz, was ich
> erhalte, wenn ich [mm]U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap Y[/mm]
> bilde. Warum erhalte ich dann schon U?
Komische Frage .....
Wir haben: $ [mm] B_{r_x}(x) \cap [/mm] $ Y $ [mm] \subseteq [/mm] $ U für jedes x [mm] \in [/mm] U.
So, nun bemühe simpelste Mengenlehre und zeige: [mm]U=(\bigcup_{x \in U}^{} B_{r_x}(x)) \cap Y[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 Di 20.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Danke!
zu b) Man braucht, da wir uns ja nicht im [mm] IR^n [/mm] befinden, denke ich die Definition der Kompaktheit mittels Überdeckungen. Wie gehe ich dazu vor?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Di 20.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
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> zu b) Man braucht, da wir uns ja nicht im [mm]IR^n[/mm] befinden,
> denke ich die Definition der Kompaktheit mittels
> Überdeckungen.
Damit kannst Du das machen, aber es geht auch mit Folgen.
> Wie gehe ich dazu vor?
Sei K eine Teilmenge von Y.
1. Sei K kompakt in (X,d) und [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] eine Überdeckung von K mit in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offenen Mengen [mm] U_i.
[/mm]
Nach a) ex. zu jedem i [mm] \in [/mm] I ein in (X,d) offenes [mm] V_i [/mm] mit: [mm] U_i =V_i \cap [/mm] Y.
Damit ist [mm] (V_i)_{i \in I} [/mm] eine in (X,d) offene Überdeckung von K. Da K kompakt in (X,d) ist, existieren [mm] i_1,...,i_n \in [/mm] I mit
K [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}V_{i_n}
[/mm]
Damit gilt auch
K [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}U_{i_n}.
[/mm]
K ist also kompakt in [mm] (Y,d_Y).
[/mm]
2. Nun versuche Du mal zu zeigen: K kompakt in [mm] (Y,d_Y) \Rightarrow [/mm] K kompakt in (X,d)
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Di 20.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Sei K kompakt in (Y, [mm] d_Y) [/mm] und [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] eine Überdeckung von K mit in (X, d) offenen mengen [mm] V_i [/mm] mit [mm] V_i=U_i \cap [/mm] Y. Nach a existiert ein in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offenes [mm] U_i [/mm] mit [mm] U_i \subset [/mm] Y. Damit ist [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] eine in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offene Überdeckung von K.
Soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Di 20.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei K kompakt in (Y, [mm]d_Y)[/mm] und [mm](U_i)_{i \in I}[/mm] eine
> Überdeckung von K mit in (X, d) offenen mengen [mm]V_i[/mm] mit
> [mm]V_i=U_i \cap[/mm] Y. Nach a existiert ein in [mm](Y,d_Y)[/mm] offenes [mm]U_i[/mm]
> mit [mm]U_i \subset[/mm] Y. Damit ist [mm](U_i)_{i \in I}[/mm] eine in
> [mm](Y,d_Y)[/mm] offene Überdeckung von K.
>
> Soweit richtig?
Nein. Das ist völlig chaotisch. Versuchs nochmal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Di 20.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Ok...
Ich habe halt auch wieder versucht, die a) zu nutzen. Ist das bei dieser Richtung falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 Di 20.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok...
> Ich habe halt auch wieder versucht, die a) zu nutzen. Ist
> das bei dieser Richtung falsch?
Nein
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Di 20.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Sei K eine Teilmenge von Y.
1. Sei K kompakt in [mm] (Y,d_Y) [/mm] und $ [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] $ eine Überdeckung von K mit in $ (X,d) $ offenen Mengen $ [mm] U_i. [/mm] $
Nach a) ex. zu jedem i $ [mm] \in [/mm] $ I ein in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offenes $ [mm] V_i [/mm] $ mit: $ [mm] U_i =V_i \cap [/mm] $ X.
Damit ist $ [mm] (V_i)_{i \in I} [/mm] $ eine in [mm] (Y,d_Y) [/mm] offene Überdeckung von K. Da K kompakt in [mm] (Y,d_Y) [/mm] ist, existieren $ [mm] i_1,...,i_n \in [/mm] $ I mit
K $ [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}V_{i_n} [/mm] $
Damit gilt auch
K $ [mm] \subseteq \bigcup_{i=1}^{n}U_{i_n}. [/mm] $
K ist also kompakt in $ (X,d). $
So? Also analog zur Rückrichtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Di 20.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei K eine Teilmenge von Y.
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> 1. Sei K kompakt in [mm](Y,d_Y)[/mm] und [mm](U_i)_{i \in I}[/mm] eine
> Überdeckung von K mit in [mm](X,d)[/mm] offenen Mengen [mm]U_i.[/mm]
>
> Nach a) ex. zu jedem i [mm]\in[/mm] I ein in [mm](Y,d_Y)[/mm] offenes [mm]V_i[/mm]
> mit: [mm]U_i =V_i \cap[/mm] X.
Das ist doch Unsinn ! Dann wäre ja [mm] U_i=V_i
[/mm]
FRED
>
> Damit ist [mm](V_i)_{i \in I}[/mm] eine in [mm](Y,d_Y)[/mm] offene
> Überdeckung von K. Da K kompakt in [mm](Y,d_Y)[/mm] ist, existieren
> [mm]i_1,...,i_n \in[/mm] I mit
>
> K [mm]\subseteq \bigcup_{i=1}^{n}V_{i_n}[/mm]
>
> Damit gilt auch
>
> K [mm]\subseteq \bigcup_{i=1}^{n}U_{i_n}.[/mm]
>
> K ist also kompakt in [mm](X,d).[/mm]
>
>
> So? Also analog zur Rückrichtung?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 20.05.2014 | | Autor: | rollroll |
Dann hab ich keine Ahnung wie ich es noch machen soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Mi 21.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Dann hab ich keine Ahnung wie ich es noch machen soll...
So macht man (oft) einen Beweis:
Man überlege sich zunächst:
1. Was ist die Voraussetzung ?
2. Wo will ich hin ?
3. Was habe ich an Hilfsmitteln zur Verfügung ?
Zu 1. K ist Teilmenge von Y und K ist kompakt in [mm] (Y,d_y)
[/mm]
Zu 2. ich möchte zeigen: K ist kompakt in (X,d)
Zu 3. auf jeden Fall Aufgabenteil a).
Sei also [mm] (V_i)_{i \in I} [/mm] eine Überdeckung von K mit in (X,d) offenen Mengen [mm] V_i.
[/mm]
Nun wagen(!) wir es , a) zu benutzen und definieren(!)
[mm] U_i:=V_i \cap [/mm] Y.
Jedes [mm] U_i [/mm] ist dann offen in [mm] (Y,d_Y). [/mm] Da K eine Teilmenge von Y ist, ist [mm] (U_i)_{i \in I} [/mm] eine Überdeckung von K
Nach Vor. existieren also [mm] i_1,....,i_m \in [/mm] I mit:
K [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^{m}U_{i_j}.
[/mm]
Nun überlege Dir, das dann gilt:
K [mm] \subseteq \bigcup_{j=1}^{m}V_{i_j}.
[/mm]
FRED
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