Einheiten von [mm]\IZ[i][/mm] < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die Teilmenge der komplexen Zahlen
[mm] \IZ[i]:=\{a+bi | a,b \in \IZ\}[/mm]
und definieren Sie die Addition und Multiplikation in [mm]\IZ[i][/mm] analog zu den entsprechenden Verknüpfungen in [mm]\IC[/mm]. Damit ist [mm]\IZ[i][/mm] ein kommutativer Ring.
Bestimmen Sie die Einheiten von [mm]\IZ[i][/mm].
Zerlegen Sie die Zahl 2 in ein nicht-triviales Produkt von Zahlen, die auf dem Einheitsquadrat in [mm]\IC[/mm] liegen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zur Bestimmung der Einheiten hat man folgende Gleichung:
[mm](a+bi)(c+di)=1[/mm]
Daraus ergibt sich aber lediglich:
[mm]ac-bd=1[/mm] und [mm]ad+bc=0[/mm].
Das ist aber zu wenig für 4 Variable. Gibt es noch eine andere Gleichung, die man heranziehen könnte oder übersehe ich da etwas?
Wie steht's mit dem zweiten Fall? Was kann man über Zahlen, die in [mm]\IC[/mm] auf dem Einheitsquadrat liegen, sagen?
Ich bin dankbar für Ideen und Lösungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Do 22.06.2006 | | Autor: | Jan_Z |
Hallo,
1) zur Bestimmung deiner Einheiten:
Du hast doch noch die Information, dass die Zahlen aus [mm] $\mathbb{Z}[i]$ [/mm] von der Form $a+bi$ mit [mm] $a,b\in\mathbb{Z}$ [/mm] sind. Du weißt doch, was die Einheiten von [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] sind, oder? Welche würdest du vermuten, kommen noch in [mm] $\mathbb{Z}[i]$ [/mm] dazu? Es sind nicht mehr viele... 
2) Die Zahlen auf dem Einheitsquadrat sind die, bei denen Imaginärteil oder Realteil =1 sind.
Viele Grüße,
Jan
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Kann es sein, dass die Aufgabe ganz einfach ist?!?
Also als Einheiten habe ich nun gefunden:
[mm]1,-1,i,-i[/mm]
Ist das soweit richtig?
Und die 2 kann man doch einfach so zerlegen:
[mm] 2=(1+i)(1-i)[/mm]
???
Wenn das alles soweit stimmt, danke für die Hilfe (aber auch sonst...:))
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Do 22.06.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Ja, das ist so richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Liebe Grüße,
Hanno
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