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| Aufgabe | | Die Einheitengruppe von ([mm]\IZ[/mm],+,[mm]*[/mm]) ist ({-1,1}, [mm]*[/mm]), denn -1 und 1 sind die einzigen invertierbaren Elemente in [mm] \IZ [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dieser Satz steht so in meinem Skript und mir ist nicht klar wieso das so stimmen soll?!
Die Einheitengruppe eines Ringes (R,+,[mm]\cdot[/mm]) ist doch die Gruppe ([mm]R^\times,*[/mm]), wobei [mm]R^\times[/mm] ja die Menge aller invertierbaren Elemete bezüglich der Multiplikation sein soll.
Aber wieso sind jetzt -1 und 1 bezüglich der Multiplikation die einzigen invertierbaren Elemente in [mm] \IZ??
[/mm]
Die invertierbaren Elemente bezüglich der Multiplikation sind doch so definiert: a [mm] \cdot[/mm] [mm]a^{-1}[/mm] = 1, wobei 1 hier das neutrale Element ist. Und wenn diese Definition stimmt, dann müßte es doch auch noch andere ganze Zahlen geben, die bezüglich der Multiplikation invertierbar sind:
z.B.: 2 [mm] \cdot 2^{-1} [/mm] = 1,
3 [mm] \cdot 3^{-1} [/mm] = 1,
usw....
Somit wäre dann die oben gemachte Aussage nicht richtig. Oder was habe ich hier falsch verstanden?
Bin dankbar für jede Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Di 23.10.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Die invertierbaren Elemente bezüglich der Multiplikation
> sind doch so definiert: a [mm]\cdot[/mm] [mm]a^{-1}[/mm] = 1, wobei 1 hier
> das neutrale Element ist. Und wenn diese Definition stimmt,
> dann müßte es doch auch noch andere ganze Zahlen geben, die
> bezüglich der Multiplikation invertierbar sind:
> z.B.: 2 [mm]\cdot 2^{-1}[/mm] = 1,
> 3 [mm]\cdot 3^{-1}[/mm] = 1,
> usw....
Aber [mm]2^{-1}[/mm] und [mm]3^{-1}[/mm] sind keine Elemente von [mm]\IZ[/mm], daher sind 2 und 3 nicht invertierbar in [mm]\IZ[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
ok, vielen Dank. Jetzt seh ichs auch. Ist ja eigentlich auch irgendwie offensichtlich.
Viele Grüße!
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