Einheitengruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zu welchem direkten Produkt zyklischer Gruppen ist die Einheitengruppe des Rings [mm] \IZ/255\IZ [/mm] isomorph? |
Hallo,
soweit ich das richtig verstanden habe sind in der Einheitengruppe die Elemente drin, die Mit der Gruppe den gemeinsamen Teiler 1 haben;
oder lieg ich da falsch?
aber ich kann doch nicht alle primzahlen bis 255 aufschreiben; lieg ich damit jetz falsch?
kann mir da jemand weiterhelfen?
schon mal vielen Dank;
fg
Chrissi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 So 06.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zu welchem direkten Produkt zyklischer Gruppen ist die
> Einheitengruppe des Rings [mm]\IZ/255\IZ[/mm] isomorph?
Schau auch mal hier.
> soweit ich das richtig verstanden habe sind in der
> Einheitengruppe die Elemente drin, die Mit der Gruppe den
> gemeinsamen Teiler 1 haben;
Im Falle von Restklassenringen von [mm] $\IZ$ [/mm] schon.
> oder lieg ich da falsch?
> aber ich kann doch nicht alle primzahlen bis 255
> aufschreiben; lieg ich damit jetz falsch?
Das sollst du auch nicht tun, sondern etwas mehr Theorie verwenden. Siehe den Link.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Danke felix für deine Antwort;
aber so ganz verstanden hab ich das jetz nicht;
[mm] \IZ/255\IZ [/mm] ist isomorph zu [mm] \IZ_5 [/mm] x [mm] \IZ_3 [/mm] x [mm] \IZ_{71};
[/mm]
soviel weiß ich und was hat des jetzt mit (A x [mm] B)^{\*}= A^{\*} [/mm] x [mm] B^{\*} [/mm] zu tun?
[mm] \IZ_5, \IZ_3 [/mm] und [mm] \IZ_{71} [/mm] sind ja keine Elemente der Einheitengruppe;
fg
Chrissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 So 06.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Chrissi!
> Danke felix für deine Antwort;
> aber so ganz verstanden hab ich das jetz nicht;
> [mm]\IZ/255\IZ[/mm] ist isomorph zu [mm]\IZ_5[/mm] x [mm]\IZ_3[/mm] x [mm]\IZ_{71};[/mm]
> soviel weiß ich und was hat des jetzt mit (A x [mm]B)^{\*}= A^{\*}[/mm]
> x [mm]B^{\*}[/mm] zu tun?
Na, es gilt [mm] $(\IZ/255\IZ)^\ast \cong (\IZ_5 \times \IZ_3 \times \IZ_{71})^\ast [/mm] = [mm] \IZ_5^\ast \times \IZ_3^\ast \times \IZ_{71}^\ast$.
[/mm]
Und wie [mm] $\IZ_p^\ast$ [/mm] aussieht solltest du wissen, wenn $p$ eine Primzahl ist.
> [mm]\IZ_5, \IZ_3[/mm] und [mm]\IZ_{71}[/mm] sind ja keine Elemente der
> Einheitengruppe;
Was meinst du damit?
LG Felix
|
|
|
| |
|
> Na, es gilt [mm](\IZ/255\IZ)^\ast \cong (\IZ_5 \times \IZ_3 \times \IZ_{71})^\ast = \IZ_5^\ast \times \IZ_3^\ast \times \IZ_{71}^\ast[/mm].
>
> Und wie [mm]\IZ_p^\ast[/mm] aussieht solltest du wissen, wenn [mm]p[/mm] eine
> Primzahl ist.
Wenn p eine Primzahl ist dann ist [mm] \IZ_p^{\*} \cong \IZ_1^{\*} [/mm] x [mm] \IZ_p^{\*}
[/mm]
> > [mm]\IZ_5, \IZ_3[/mm] und [mm]\IZ_{71}[/mm] sind ja keine Elemente der
> > Einheitengruppe;
>
> Was meinst du damit?
naja 5, 3 und 71 sind ja Teiler von 255 und somit ist der ggT nicht 1, und damit nicht in der Einheitengruppe od stimmt des nich?
Ist dann [mm] \IZ_p^{\*} \cong \IZ_1^{\*} [/mm] x [mm] \IZ_p^{\*} [/mm] die Antwort auf die Frage?
fg
Chrissi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 08.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
