Einheitengruppe < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Fr 19.08.2011 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | Welche der folgenden Gruppen ist eine Einheitengruppe?
a) [mm] \IZ/(6)
[/mm]
b) [mm] \IZ/(9)
[/mm]
c) [mm] \IZ/(11) [/mm] |
Hallo
ich habe diese aufgabe in einer klausur gefunden.
die lösung lautet a)
aber ich weiß nicht warum..wie man darauf kommt.
bitte um tipps..
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Fr 19.08.2011 | | Autor: | Harris |
Betrachten wir [mm] $\IZ/n\IZ$.
[/mm]
Sie ist zyklisch und besitzt [mm] \varphi(n) [/mm] erzeugende Elemente, die die (zyklische) multiplikative Gruppe [mm] (\IZ/n\IZ)^x [/mm] bilden. Dadurch ist sie isomorph zu [mm] $\IZ/\varphi(n)\IZ$
[/mm]
Wir suchen also Zahlen, für die
[mm] \varphi(j)=6
[/mm]
[mm] \varphi(k)=9
[/mm]
[mm] \varphi(l)=11
[/mm]
gilt.
Hier hilft weiter, dass für m>2 [mm] \varphi(m) [/mm] stets gerade ist. Dies folgt direkt aus der Primfaktorzerlegung von m, der multiplikativität für teilerfremde Zahlen und der Formel [mm] \varphi(p^k)=p^k-p^{k-1}.
[/mm]
Da 9,11 ungerade, kann nur noch die erste Gruppe eine Einheitengruppe sein.
Und dies ist z.B. für die Zahl 7 erfüllt.
Ciao, Harris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Fr 19.08.2011 | | Autor: | can19 |
hey harris
danke für die schnelle antwort.
heißt das, dass es immer nur für gerade zahlen gilt?
zum beispiel hier eine andere aufgabe:
welche der folgenden gruppen ist keine einheitengruppe von [mm] \IZ/n\IZ [/mm] für ein n in [mm] \IZ [/mm] ?
a) [mm] \IZ/(2) [/mm] x [mm] \IZ/(2) --->\varphi(n)=4
[/mm]
b) [mm] \IZ/(13) ---->\varphi(m)=13 [/mm]
c) [mm] \IZ/(20) ---->\varphi(l)=20
[/mm]
hier denke ich mal ist die antwort b) oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:35 So 21.08.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> danke für die schnelle antwort.
>
> heißt das, dass es immer nur für gerade zahlen gilt?
Ausser fuer $n [mm] \in \{ 1, 2 \}$, [/mm] ja. In den Faellen ist [mm] $\varphi(n) [/mm] = 1$.
Zumindest falls es um die Einheitengruppe von [mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] geht. Das hattest du in deiner ersten Frage nicht gesagt. Wenn es um beliebige endliche (kommutative) Ringe mit Eins geht, gibt es z.B. auch eine Einheitengruppe der Ordnung 15: das ist dann die Einheitengruppe des endlichen Koerpers mit [mm] $2^4$ [/mm] Elementen. Dieser ist eben nicht von der Form [mm] $\IZ/2^4\IZ$.
[/mm]
> zum beispiel hier eine andere aufgabe:
> welche der folgenden gruppen ist keine einheitengruppe von
> [mm]\IZ/n\IZ[/mm] für ein n in [mm]\IZ[/mm] ?
> a) [mm]\IZ/(2)[/mm] x [mm]\IZ/(2) --->\varphi(n)=4[/mm]
> b) [mm]\IZ/(13) ---->\varphi(m)=13[/mm]
>
> c) [mm]\IZ/(20) ---->\varphi(l)=20[/mm]
>
> hier denke ich mal ist die antwort b) oder?
Wenn die Aufgabe so zu lesen ist, dass nur eine der Gruppen keine Einheitengruppe ist, dann ja.
Wenn die Auswahl allerdings mehrere der Gruppen umfassen kann, dann musst du noch mehr tun. Du musst $n$ angeben, so dass [mm] $(\IZ/n\IZ)^\ast$ [/mm] auch wirklich isomorph zu den gegebenen Gruppen ist. Da musst du dann etwas mehr arbeiten.
LG Felix
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