Einheitenrechnung < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Fr 06.12.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Gegeben sind die folgenden zwei Ausdrücke:
$h(t) = h(0) [mm] \cdot \left(\alpha_1 \cdot e^{p_1 t} + \alpha \cdot e^{p_2 t} \right)$
[/mm]
[mm] $p_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{c}{2m} \pm \sqrt{\frac{c^2}{4m^2} - \frac{k}{m}}$
[/mm]
mit Federkonstante $k = [mm] \frac{N}{m}$, [/mm] Dämpfungsglied $c = [mm] \frac{N}{\frac{m}{s}}$ [/mm] und Masse $m = kg$.
Die Faktoren [mm] $\alpha_1, \alpha_2$ [/mm] kann man durch Auswertung der Anfangsbedingungen bestimmen. Zur Vereinfachung nehmen wir hier ohne weitere Rechnung [mm] $\alpha_1, =\alpha_2 [/mm] = 1$ an.
a) Prüfen Sie die Plausibilität der Lösung, indem Sie die Einheiten für h(t) und für $p{1,2}$ ermitteln. (Anmerkung: Mit dem Wort "Lösung" in dieser Teilaufgabe ist die Lösung der mechanischen Differentialgleichung gemeint, die in einem längeren Kapitel vor der eigentlichen Aufgabe "gelöst gegeben" wurde, gemeint!)
b) Weisen Sie nach, dass diese Lösung mathematisch richtig ist! |
Hi Leute! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich hab eine Frage zur ersten Teilaufgabe. Ich hab hier mal versucht eine Einheitenrechnung durchzuführen:
Einheitenrechnung für [mm] $p_{1,2}$:
[/mm]
[mm] $\frac{\frac{N}{\frac{m}{s}}}{kg} \pm \sqrt{\frac{\left( \frac{N}{\frac{m}{s}}\right)^2}{kg^2} - \frac{\frac{N}{m}}{kg}} [/mm] = ... = [mm] \frac{N \cdot s}{m \cdot kg} \pm \frac{N \cdot s}{m \cdot kg} \cdot \sqrt{-\frac{N}{m \cdot kg}}$
[/mm]
Leider weiß ich an dieser Stelle nicht mehr weiter. Das Minus unter Wurzel deutet wohl auf eine komplexe Zahl hin, was wohl auch stimmen dürfte, da es sich hier um eine komplexes Signal handeln dürfte.
Wie aber muss ich hier noch weiter zusammenfassen? Noch kann ich ja keine Aussage über die Plausibilität der Lösung der Differentialrechnung treffen!
Kann mir jemand weiterhelfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Fr 06.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die folgenden zwei Ausdrücke:
>
> [mm]h(t) = h(0) \cdot \left(\alpha_1 \cdot e^{p_1 t} + \alpha \cdot e^{p_2 t} \right)[/mm]
>
> [mm]p_{1,2} = -\frac{c}{2m} \pm \sqrt{\frac{c^2}{4m^2} - \frac{k}{m}}[/mm]
>
> mit Federkonstante [mm]k = \frac{N}{m}[/mm], Dämpfungsglied [mm]c = \frac{N}{\frac{m}{s}}[/mm]
> und Masse [mm]m = kg[/mm].
>
> Die Faktoren [mm]\alpha_1, \alpha_2[/mm] kann man durch Auswertung
> der Anfangsbedingungen bestimmen. Zur Vereinfachung nehmen
> wir hier ohne weitere Rechnung [mm]\alpha_1, =\alpha_2 = 1[/mm] an.
>
> a) Prüfen Sie die Plausibilität der Lösung, indem Sie
> die Einheiten für h(t) und für [mm]p{1,2}[/mm] ermitteln.
> (Anmerkung: Mit dem Wort "Lösung" in dieser Teilaufgabe
> ist die Lösung der mechanischen Differentialgleichung
> gemeint, die in einem längeren Kapitel vor der
> eigentlichen Aufgabe "gelöst gegeben" wurde, gemeint!)
>
> b) Weisen Sie nach, dass diese Lösung mathematisch richtig
> ist!
>
>
> Hi Leute! Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich hab eine Frage zur ersten Teilaufgabe. Ich hab hier mal
> versucht eine Einheitenrechnung durchzuführen:
>
> Einheitenrechnung für [mm]p_{1,2}[/mm]:
>
> [mm]\frac{\frac{N}{\frac{m}{s}}}{kg} \pm \sqrt{\frac{\left( \frac{N}{\frac{m}{s}}\right)^2}{kg^2} - \frac{\frac{N}{m}}{kg}} = ... = \frac{N \cdot s}{m \cdot kg} \pm \frac{N \cdot s}{m \cdot kg} \cdot \sqrt{-\frac{N}{m \cdot kg}}[/mm]
>
>
Autsch, was ist den das für ein ...?
Addieren/Subtrahieren kann man doch nur Größen mit der gleichen Einheit.
Du kannst also getrost davon ausgehen, dass in der Wurzel hinter [mm]\frac{\left( \frac{N}{\frac{m}{s}}\right)^2}{kg^2}[/mm] und [mm]\frac{\frac{N}{m}}{kg}[/mm] jeweils die gleiche Einheit steckt.
Nutze hier die Definition der Einheit N ([mm]1N=1kg*m*s^{-2}[/mm]).
Mathematisch grausam ist, dass du deiner "Wurzelbehandlung" zufolge der Meinung bist, dass [mm]\sqrt{a^2-b}=a*\sqrt{-b}[/mm] gilt.
Den Zahn muss ich dir ziehen.
Gruß Abakus
Leider weiß ich an dieser Stelle nicht mehr weiter. Das
> Minus unter Wurzel deutet wohl auf eine komplexe Zahl hin,
> was wohl auch stimmen dürfte, da es sich hier um eine
> komplexes Signal handeln dürfte.
> Wie aber muss ich hier noch weiter zusammenfassen? Noch
> kann ich ja keine Aussage über die Plausibilität der
> Lösung der Differentialrechnung treffen!
>
> Kann mir jemand weiterhelfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Fr 06.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Stimmt als Ergebnis der Einheitenrechnung 1/s?
Wenn ich nun 1/s in die Funktion h(t) einsetze, komme ich als Einheit auf cm, da für h(0) zusätzlich angegeben ist (was ich irgendwie bis jetzt überlesen habe!), dass h(0) = 10cm ist. Womit die Einheit wohl cm ist. Genauer:
$h(t) = cm [mm] \cdot \left( e^{\frac{1}{s} \cdot s} + e^{\frac{1}{s} \cdot s} \right) [/mm] = cm$
Was ist bei der Aufgabe b) gemeint? Soll das nur der "Aufschrieb" meiner Einheitenechnung sein?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
bei der Aufgabe b) kannst Du nachweisen, dass die Lösungen richtig sind, indem Du sie wieder in die Ausgangsgleichung einsetzt, aus der heraus die Lösungen entstanden sind. Wenn Du Zahlenwerte gegeben hast, so muss natürlich auch in einer DGL rechts und links vom Gleichheitszeichen der gleiche Werte herauskommen. Ansonsten dürfte eine Überprüfung durch Überprüfung der Einheiten okay sein.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Fr 06.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich komm bei der b) auf keinen grünen Zweig.
Die gegebene und "gelöste Differentialgleichung" lautet:
[mm] $\ddot(h(t)) [/mm] + [mm] \frac{c}{m}\cdot \dot(t) [/mm] + [mm] \frac{k}{m}\cdot [/mm] h(t) = 0$
Wenn ich da nun für c, m, k und für die zwei Ableitungen von h(t) und h(t) selbst die Einheiten einsetze, dann komm ich auf: $3 [mm] \frac{m}{s^2}$
[/mm]
Was wohl falsch ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Fr 06.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Ich komm bei der b) auf keinen grünen Zweig.
>
> Die gegebene und "gelöste Differentialgleichung" lautet:
>
> [mm]\ddot(h(t)) + \frac{c}{m}\cdot \dot(t) + \frac{k}{m}\cdot h(t) = 0[/mm]
>
> Wenn ich da nun für c, m, k und für die zwei Ableitungen
> von h(t) und h(t) selbst die Einheiten einsetze, dann komm
> ich auf: [mm]3 \frac{m}{s^2}[/mm]
>
> Was wohl falsch ist
Hallo,
wenn man den Weg (hier: die Höhe) nach der Zeit ableitet, bekommt man die Geschwindigkeit.
Wenn man die Geschwindigkeit nach der Zeit ableitet, bekommt man die Beschleunigung.
Fazit: die zweite Ableitung von h(t) ist eine Beschleunigung.
Deren Einheit dürfte bekannt sein.
Ich weiß nicht, wo du ein Problem siehst.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Sa 07.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Die zweite Ableitung von h(t) ist die Beschleunigung mit [mm] $\frac{m}{s^2}$ [/mm] was klar ist. Wenn ich nun also die Einheiten in die Differentialgleichung einsetze, dann sieht das bei mir so aus:
[mm] $\frac{m}{s^2} [/mm] + [mm] \frac{\frac{N}{\frac{m}{s}}}{kg}\cdot \frac{m}{s} [/mm] + [mm] \frac{\frac{N}{m}}{kg}\cdot [/mm] m = 0 [mm] \Leftrightarrow \frac{m}{s^2} [/mm] + [mm] \frac{kg \cdot m \cdot \frac{1}{s^2} \cdot \frac{s}{m}}{kg} \cdot \frac{m}{s} [/mm] + [mm] \frac{kg\cdot \frac{1}{s^2}}{kg} \cdot [/mm] m = 0 [mm] \Leftrightarrow 3\cdot\frac{m}{s^2} [/mm] = 0$
Was ich hier jetzt nicht kapiere ist, warum ich hier jetzt einheitenmäßig [mm] $\frac{m}{s^2} [/mm] = 0$ stehen hab! Geschwindigkeit-Einheiten können doch nicht =0 sein!
Ist das hier jetzt so richtig oder nicht? Wenn das wirklich so richtig sein soll, wie interpretiere ich das korrekt?
Edit: Ist eigentlich mein Ergebnis für a) mit [mm] $\frac{1}{s}$ [/mm] richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo bandchef,
> Die zweite Ableitung von h(t) ist die Beschleunigung mit
> [mm]\frac{m}{s^2}[/mm] was klar ist.
Scheint trivial, ist aber für das Folgende eine wichtige Feststellung.
> Wenn ich nun also die Einheiten
> in die Differentialgleichung einsetze, dann sieht das bei
> mir so aus:
>
> [mm]\frac{m}{s^2} + \frac{\frac{N}{\frac{m}{s}}}{kg}\cdot \frac{m}{s} + \frac{\frac{N}{m}}{kg}\cdot m = 0 \Leftrightarrow \frac{m}{s^2} + \frac{kg \cdot m \cdot \frac{1}{s^2} \cdot \frac{s}{m}}{kg} \cdot \frac{m}{s} + \frac{kg\cdot \frac{1}{s^2}}{kg} \cdot m = 0 \Leftrightarrow 3\cdot\frac{m}{s^2} = 0[/mm]
Hm. Die Einheitenumformungen sind alle richtig, die Zusammenfassung aber eigenartig. Die drei Brüche kürzen sich einheitenmäßig alle auf [mm] m/s^2. [/mm] Die Schreibweise [mm] 3*\bruch{m}{s^2}=0 [/mm] finde ich aber befremdlich.
> Was ich hier jetzt nicht kapiere ist, warum ich hier jetzt
> einheitenmäßig [mm]\frac{m}{s^2} = 0[/mm] stehen hab!
Rechts gehört die gleiche Einheit hin. Sie ist zu ergänzen.
> Geschwindigkeit-Einheiten können doch nicht =0 sein!
Es geht doch nicht um Geschwindigkeit, sondern um Beschleunigung. Und natürlich werden die Einheiten nicht Null!
> Ist das hier jetzt so richtig oder nicht? Wenn das
> wirklich so richtig sein soll, wie interpretiere ich das
> korrekt?
Na, links Beschleunigung, rechts Beschleunigung.
> Edit: Ist eigentlich mein Ergebnis für a) mit [mm]\frac{1}{s}[/mm]
> richtig?
Das sieht nicht so aus. Hier war doch $h(t)$ gefragt.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 07.12.2013 | | Autor: | bandchef |
> Die zweite Ableitung von h(t) ist die Beschleunigung mit
> [mm]\frac{m}{s^2}[/mm] was klar ist.
Scheint trivial, ist aber für das Folgende eine wichtige Feststellung.
> Wenn ich nun also die Einheiten
> in die Differentialgleichung einsetze, dann sieht das bei
> mir so aus:
>
> [mm]\frac{m}{s^2} + \frac{\frac{N}{\frac{m}{s}}}{kg}\cdot \frac{m}{s} + \frac{\frac{N}{m}}{kg}\cdot m = 0 \Leftrightarrow \frac{m}{s^2} + \frac{kg \cdot m \cdot \frac{1}{s^2} \cdot \frac{s}{m}}{kg} \cdot \frac{m}{s} + \frac{kg\cdot \frac{1}{s^2}}{kg} \cdot m = 0 \Leftrightarrow 3\cdot\frac{m}{s^2} = 0[/mm]
> Hm. Die Einheitenumformungen sind alle richtig, die Zusammenfassung aber eigenartig. Die drei Brüche kürzen sich einheitenmäßig alle auf
> [mm] m/s^2. [/mm] Die Schreibweise [mm] 3*\bruch{m}{s^2}=0 [/mm] finde ich aber befremdlich.
Ich hab die drei Brüche die sich zu [mm] $m/s^2$ [/mm] kürzen nur noch miteinander multipliziert. Nicht mehr. Aber ich werd's mir merken sowas bei Einheitenrechnungen nicht mehr zu machen.
> Was ich hier jetzt nicht kapiere ist, warum ich hier jetzt
> einheitenmäßig [mm]\frac{m}{s^2} = 0[/mm] stehen hab!
> Rechts gehört die gleiche Einheit hin. Sie ist zu ergänzen.
Also heißt das für mich, dass ich nur die 0 durch ein [mm] $m/s^2$ [/mm] ersetzen muss? Aber auf welcher "Grundlage"? Ich kann ja nicht einfach hingehen und die rechte Seite der Differentialgleichung "einfach mal so verändern", oder?
> Geschwindigkeit-Einheiten können doch nicht =0 sein!
> Es geht doch nicht um Geschwindigkeit, sondern um Beschleunigung. Und natürlich werden die Einheiten nicht Null!
Entschuldige bitte. Da hab ich mich vertippt. Ich meinte natürlich Beschleunigung.
> Ist das hier jetzt so richtig oder nicht? Wenn das
> wirklich so richtig sein soll, wie interpretiere ich das
> korrekt?
Na, links Beschleunigung, rechts Beschleunigung.
Hier das gleiche wie oben: Warum einfach die 0 auf der rechten Seite der Differentialgleichung durch die Einheit ersetzen die ich auf der linken Seite berechnet habe? Ich habe gedacht, dass ich die Einheiten überprüfen soll! Wenn ich die rechte Seite, also die 0, einfach nur durch das Ergebnis der linken Seite ersetze, dann hab ich ja keine Überprüfung?
-> Insgeheim hab ich ja auf der linken Seite mit dem Ergebnis 0 gerechnet, weil ich dann am Schluss 0=0 dastehen habe, was "richtig" ist, und mir so eine Aussage über die vorher berechneten Einheiten geben würde. Dieser Ansatz ist aber wohl falsch, wie bemerkt habe!
> Edit: Ist eigentlich mein Ergebnis für a) mit [mm]\frac{1}{s}[/mm]
> richtig?
> Das sieht nicht so aus. Hier war doch $h(t)$ gefragt.
Entschuldige. 1/s ist das Einheitenergebnis für [mm] $p_{1,2}$. [/mm] Wenn ich dann mit 1/s in h(t) weitermache, komm ich auf cm (also eine Länge) als Einheit, was wohl richtig passt.
Edit:
Ich glaub jetzt weiß ich, welches Problem ich die ganze Zeit gehabt habe: Das = 0 hat mich gestört. Wenn ich nun das = 0 einfach durch ein f(t) ersetze, dann bekomm ich eben auf der linken Seite di Einheit raus und auf der rechten Seite steht einfach , dass es die Funktion f(t) ist... So:
$ [mm] \frac{m}{s^2} [/mm] + [mm] \frac{\frac{N}{\frac{m}{s}}}{kg}\cdot \frac{m}{s} [/mm] + [mm] \frac{\frac{N}{m}}{kg}\cdot [/mm] m = f(t) [mm] \Leftrightarrow \frac{m}{s^2} [/mm] + [mm] \frac{kg \cdot m \cdot \frac{1}{s^2} \cdot \frac{s}{m}}{kg} \cdot \frac{m}{s} [/mm] + [mm] \frac{kg\cdot \frac{1}{s^2}}{kg} \cdot [/mm] m = f(t) [mm] \Leftrightarrow \frac{m}{s^2} [/mm] = f(t) $
So. Nun hat die Differentialgleichung f(t) die Einheit [mm] $\frac{m}{s^2}$. [/mm] Jetzt müsst ich nur noch wissen, ob das Einheitenergebnis auch so stimmt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 So 08.12.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
beim Schreiben Deines letzten Beitrags hat sich ja augenscheinlich bei Dir so einiges geklärt und das ist ja auch der Sinn solch einer Konversation hier.
Die Einheit mit Meter pro Sekunde im Quadrat ist richtig. Gewöhne Dir am besten an, mit den Grundeinheiten zu rechen, da hat man einen besseren Überblick als wenn man nun auf Zentimeter oder Nanomeer oder was auch immer umsteigt.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 So 08.12.2013 | | Autor: | bandchef |
Also dann sehe ich das nun so, dass die (Teil-)Aufgaben a) und b) so nun komplett richtig sind.
Jedenfalls schon mal vielen Dank für eure Hilfe hier!
|
|
|
|
