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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Sa 21.05.2011 | | Autor: | folken |
| Aufgabe | | Ein Punkt wird zufällig im Einheitskreis (Kreis mit Radius 1 und Mittelpunkt im Ursprung) gewählt (gemäß der Gleichverteilung). X sei seine x-Koordinate Y sein mit der positiven x-Achse eingeschlossener Winkel. Sind X und Y unabhängig? Beweisen Sie Ihre Antwort. |
Hallo,
mir ist klar, das diese abhängig sind. Ich vermute mal das man das mit sinus und cosinus zeigen muss. Ich verstehe nur nicht wie ich beim Beweis hier vorgehen soll.
Gruß folken
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:16 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Vielleicht kann man das so machen:
Guck dir mal $P(X>0, [mm] -\frac{\pi}{2}0)*P(-\frac{\pi}{2}
Nun rechne aber mal $P(X>0, [mm] -\pi0|-\frac{\pi}{2}
(wahlweise kannst du die Winkel natürlich alle noch so zurechtstutzen, dass sie zwischen 0 und [mm] 2*\pi [/mm] liegen)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Sa 21.05.2011 | | Autor: | folken |
Danke erstmal für die schnelle Antwort,
> Hi!
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> Vielleicht kann man das so machen:
> Guck dir mal [mm]P(X>0, -\pi
> unabhängig, so müsste das
> [mm]=P(X>0)*P(-\pi
> sein (X ist ja gleichverteilt auf [mm][-1,1][/mm], Y ist
> gleichverteilt auf [mm][-\pi,\frac{3}{2}*\pi][/mm]).
>
> Nun rechne aber mal [mm]P(X>0, -\pi0|-\pi
> aus.
Hier verstehe ich nicht, wie ich das ausrechnen soll:
[mm] P(X>0|-\pi
im Zähler denn Schnitt berechnen, da weiss ich nicht wie man das ausrechnen soll.
Weiter verstehe ich nicht, in welcher Hinsicht, das dann ein Beweis wäre.
>
> (wahlweise kannst du die Winkel natürlich alle noch so
> zurechtstutzen, dass sie zwischen 0 und [mm]2*\pi[/mm] liegen)
Warum kann ich nicht gleich Y von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] laufen lassen statt von [mm] -\pi
[/mm]
bis [mm] \pi.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich habe das Intervall nur so komisch gewählt, um den Schreibaufwand etwas zu verringern. Wenn man Y in [mm] [0,2\pi] [/mm] laufen lässt, du müsste ich das Ereignis [mm] \{-\frac{\pi}{2}
Ich sehe auch gerade, dass ich statt [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] überall nur [mm] \pi [/mm] geschrieben habe, werde ich gleich ändern!
Auf alle Fälle gilt doch:
$ [mm] P(X>0|-\frac{\pi}{2}
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Sa 21.05.2011 | | Autor: | folken |
Ich stelle mich wahrscheinlich gerade etwas dumm an, aber ich verstehe immer noch nicht, warum mir das zeigt, dass die beiden variablen voneinander abhängig sein müssen. Ich sehe auch noch nicht den Zusammenhang, was das mit dem ersten Teil, wo wir [mm] \bruch{1}{4} [/mm] rausbekommen haben zu tun hat. Es wäre toll wenn du mir nur noch das erklären könntest.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Sa 21.05.2011 | | Autor: | Teufel |
Ah ok!
Also 2 Zufallsvariablen X und Y sind doch genau unabhängig, wenn für alle Mengen A, B aus ihrem Wertebereich gilt:
[mm] $P(X\in [/mm] A, [mm] Y\in [/mm] B)=P(X [mm] \in [/mm] A)*P(Y [mm] \in [/mm] B)$.
Für deine Aufgabe habe ich A und B konkret gewählt und ich wollte dann einfach mal beide Seiten vergleichen. Auf der rechten Seite kam [mm] \frac{1}{4} [/mm] raus. Wenn auf der linken etwas anderes rauskommen würde, so würde das schon zeigen, dass X und Y nicht unabhängig sein können!
Du kannst die linke Seite auch ohne die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen, wenn du willst. Beachte dazu einfach, dass gilt:
$X>0 [mm] \gdw Y\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$.
[/mm]
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