Einheitsnormale einer Sphäre < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 27.01.2013 | | Autor: | Kyres |
| Aufgabe 1 | | (a) Berechnen Sie die Einheitsnormale n(z) von der Sphäre S ={ x [mm] \in \IR^3, [/mm] |x|=R} im Punkt z [mm] \in [/mm] S |
| Aufgabe 2 | | (b) Zeigen Sie: Für x, y [mm] \in [/mm] S gilt: [mm] (y-x)*n(y)=\bruch{1}{2R}|x-y|^2. [/mm] |
Mir ist bekannt, dass [mm] f(\phi,\delta)=\vektor{R*cos \phi cos \delta \\ R*sin \phi cos \delta \\ R* sin \delta } [/mm] eine Kugeloberfläche mit Radius R beschreibt. Ich denke, die Sphäre S beschreibt auch eine Kugeloberfläche mit Radius R, somit wäre schonmal eine Parameterdarstellung für S gefunden.
Ist [mm] x_{0}=f(u_{0}) [/mm] ein Punkt auf dem Flächenstück, so haben wir in der Vorlesung mit [mm] n(u_{0}):=\bruch{f_{u}(u_{0}) \times f_{v}(u_{0})}{|f_{u}(u_{0}) \times f_{v}(u_{0})|} [/mm] den Normalenvektor von F in [mm] x_{0} [/mm] definiert.
Mir ist nicht klar, wie ich vorgehen muss und verstehe die Definition des Normalenvektors auch nicht. Z.B. was [mm] f_{u} [/mm] bedeutet. Ich denke, dass ist die Ableitung von f nach u, aber was bedeutet dies in dem konkreten Fall?
Vielen Danke für Tipps, Erklärungen und Hilfestellungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:33 So 27.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
u,v sind deine /phi, /theta
[mm] f_u [/mm] die paritelle Ableitung nach u, aber der Normalenvektor einer spaere hat doch immer radiale Richtung, er ist der Vektor, der auf der Flaeche, bzw ihrer Tangentialebene senkrecht steht, das Kreuprodukt von 2 Vektoren der Tangentisalebene steht senkrecht darauf.
dein x statt /times irritiert: backslash times ist das Zeichen fuer Kreuzprodukt
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Di 29.01.2013 | | Autor: | Eudoxos |
Ich habe angefangen die Aufgabe a) mit dem obigen Ansatz zu lösen.
Somit folgt für die Einheitsnormale:
[mm] n(z)=\bruch{\vektor{rRcos\phi*cos^2(\delta)\\rRsin\phi*cos^2\delta \\ 2R^2cos\delta*sin\delta}}{(2r^2R^2cos^4\delta+4R^4cos^2\delta*sin^2\delta)^\bruch{1}{2}}
[/mm]
Kann man das noch weiter vereinfachen? Wenn nicht, dann habe ich mich vermutlich verrechnet.
Vielen Danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 Di 29.01.2013 | | Autor: | fred97 |
Das geht doch viel einfacher:
ist z [mm] \in [/mm] S und [mm] z=(x_1,x_2,x_3), [/mm] so ist |z|=R, also ist
[mm] $n(z)=\bruch{1}{R}*z$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Di 29.01.2013 | | Autor: | Eudoxos |
Wieso erhält man dadurch die Einheitsnormale?
das würde ja bedeuten:
[mm] n(z)=\vektor{rcos\phi*cos^2\delta \\ rsin\phi*cos^2\delta\\2Rcos\delta*sin\delta}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Mi 30.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
deine Frage ist eigenartig,
1. was ist dein r statt R,
2. 2*R in der letzten Komp. ist falsch, es ist R
3, fuer den Einheits vektor musst du durch den Betrag dividieren.
im vorigen Post hattest du ausgerechnet richtig ausser den r statt R und der 2
dann steht da der Zaehler= [mm] R*cos\theta*\vec{x} [/mm] durch den Betrag, also ein Einheitsvektor in Richtung [mm] \vec{x}
[/mm]
aber wie fred sagte, muss das gar nicht so kompliziert, es sei denn, du willst die Def mit dem Kreuzprodukt ueben.
Was genau ist denn deine Frage?
was du hingeschrieben hast geht nicht in Richtung n und ist kein Einheitsvektor.
und wie kommst du durch freds post auf diese Idee?
Gruss leduart
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