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| Aufgabe | | Seien [mm] \IQ \subseteq \overline{\IQ} \subseteq \IC [/mm] der algebraische Abschluss von [mm] \IQ [/mm] in [mm] \IC [/mm] und [mm] \overline{\IZ} [/mm] der ganze Abschluss von [mm] \IZ [/mm] in [mm] \overline{\IQ}. [/mm] Zeigen Sie, dass ein [mm] \alpha \in \overline{\IZ}, [/mm] welches [mm] |\sigma(\alpha)| [/mm] = 1 für alle Elemente [mm] \sigma \in Gal(\overline{\IQ}/\IQ) [/mm] erfüllt, eine Einheitswurzel ist. Studieren Sie dazu die Menge [mm] \{Mipo_\IQ(\alpha^k) | k \ge 0\}. [/mm] Zeigen Sie durch ein Beispiel, dass man hier auf die Ganzheit von [mm] \alpha [/mm] nicht verzichten kann. |
Hallo Leute,
Hab bisher ein wenig rumprobiert, die Voraussetzungen übersetzt und versucht, das ganze so zusammen zu setzen, dass ich auf nen grünen Zweig komme. Allerdings scheint mir einfach die richtige Idee zu fehlen, da ich nicht wirklich weiß, wie mir das Studium der oben erwähnten Menge von Minimalpolynomen weiterhelfen soll.
Wäre nett, wenn mir jemand ein paar Hinweise geben könnte.
Viele Grüße
Anfänger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Di 16.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien [mm]\IQ \subseteq \overline{\IQ} \subseteq \IC[/mm] der
> algebraische Abschluss von [mm]\IQ[/mm] in [mm]\IC[/mm] und [mm]\overline{\IZ}[/mm]
> der ganze Abschluss von [mm]\IZ[/mm] in [mm]\overline{\IQ}.[/mm] Zeigen Sie,
> dass ein [mm]\alpha \in \overline{\IZ},[/mm] welches
> [mm]|\sigma(\alpha)|[/mm] = 1 für alle Elemente [mm]\sigma \in Gal(\overline{\IQ}/\IQ)[/mm]
> erfüllt, eine Einheitswurzel ist. Studieren Sie dazu die
> Menge [mm]\{Mipo_\IQ(\alpha^k) | k \ge 0\}.[/mm] Zeigen Sie durch
> ein Beispiel, dass man hier auf die Ganzheit von [mm]\alpha[/mm]
> nicht verzichten kann.
>
> Hab bisher ein wenig rumprobiert, die Voraussetzungen
> übersetzt und versucht, das ganze so zusammen zu setzen,
> dass ich auf nen grünen Zweig komme. Allerdings scheint
> mir einfach die richtige Idee zu fehlen, da ich nicht
> wirklich weiß, wie mir das Studium der oben erwähnten
> Menge von Minimalpolynomen weiterhelfen soll.
Das Ziel ist zu zeigen, dass die Menge der Minimalpolynome endlich ist. Daraus folgt, dass es $k [mm] \neq \ell$ [/mm] gibt mit [mm] $\alpha^k [/mm] = [mm] \alpha^\ell$, [/mm] woraus folgt dass [mm] $\alpha$ [/mm] eine Einheitswurzel ist.
Seien [mm] $\sigma_1(\alpha), \dots, \sigma_n(\alpha)$ [/mm] alle Konjugierten von [mm] $\alpha$ [/mm] (oder auch ein paar mehr). Beachte, dass dann [mm] $\prod_{j \in J} [/mm] (x - [mm] \sigma_j(\alpha))$ [/mm] das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber [mm] $\IQ$ [/mm] ist, wobei $J [mm] \subseteq \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] eine passende Teilmenge ist. Aehnliches gilt fuer [mm] $\alpha^k$: [/mm] es gibt eine passende Teilmenge [mm] $J_k \subseteq \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] so, dass [mm] $\prod_{j \in J_k} [/mm] (x - [mm] \sigma_j(\alpha^k))$ [/mm] das Minimalpolynom von [mm] $\alpha^k$ [/mm] ist.
Jetzt beachte, dass das Minimalpolynom ganzzahlige Koeffizienten hat. Weiterhin kannst du jeden Koeffizienten betragsmaessig begrenzen.
LG Felix
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Hallo Felix,
vielen Dank für die Antwort!
Ich werd mir das ganze mal genauer überlegen und schaun, dass ich zu dem gewünschten Ergebnis komme. Sollte ich irgendwo gar nicht weiter wissen, dann würde ich mich einfach nochmal rühren 
Viele Grüße
Anfänger
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