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Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Mi 11.11.2015
Autor: Peter_123

Hallo,


Ich Steige mal gleich direkt mit einem Beispiel ein.

Ich möchte die Gleichung [mm] $z^4 [/mm] = -1$ lösen.

Nun weiß man ja, dass die nte Wurzel aus z mittels

$ [mm] z_k [/mm] = [mm] \wurzel[n]{|z|}exp(i (\frac{\phi + 2 \pi k}{n})$ [/mm] k=0,...,n-1

berechnet werden kann.

Will ich also [mm] $z^4 [/mm] = -1$ lösen so würde das nach obiger Formel

[mm] z_0 [/mm] = exp(i [mm] (\frac{\phi + 2 \pi 0}{4})$ [/mm]
.
.
.
.
[mm] z_3 [/mm] =exp(i [mm] (\frac{\phi + 2 \pi 3}{4})$ [/mm]

bleibt das [mm] \phi [/mm] zu bestimmen.... für z=x+iy ist ja [mm] $\phi [/mm] = arctan(y/x)$ , hier also [mm] $\phi [/mm] = arctan(0)$

Jetzt ist aber blöd, dass der arctan mehrdeutig ist und damit wir auf die richtigen Lösungen kommen müssen wir um [mm] \pi [/mm] verschieben

dann also

[mm] $z_0 [/mm] = exp(i [mm] (\frac{\pi + 2 \pi 0}{4})$ [/mm]
.
.
.
.
[mm] $z_3 [/mm] =exp(i [mm] (\frac{\pi + 2 \pi 3}{4})$ [/mm]

Warum ist also

-1 = 1 [mm] exp(\pi [/mm] / 4)

wenn man mit der üblichen Formel von Polarkoordinaten $(z= r [mm] \cdot [/mm] exp(i [mm] \phi)) [/mm] $auf -1 = 1 exp(0) kommen würde ?


Lg und Danke

Peter

        
Bezug
Einheitswurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:20 Mi 11.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Hallo,

>
>

> Ich Steige mal gleich direkt mit einem Beispiel ein.

>

> Ich möchte die Gleichung [mm]z^4 = -1[/mm] lösen.

>

> Nun weiß man ja, dass die nte Wurzel aus z mittels

>

> [mm]z_k = \wurzel[n]{|z|}exp(i (\frac{\phi + 2 \pi k}{n})[/mm]
> k=0,...,n-1

>

> berechnet werden kann.

>

> Will ich also [mm]z^4 = -1[/mm] lösen so würde das nach obiger
> Formel

>

> [mm]z_0[/mm] = exp(i [mm](\frac{\phi + 2 \pi 0}{4})[/mm]
> .
> .
> .
> .
> [mm]z_3[/mm] =exp(i [mm](\frac{\phi + 2 \pi 3}{4})[/mm]

[ok]

> bleibt das [mm]\phi[/mm] zu bestimmen.... für z=x+iy ist ja [mm]\phi = arctan(y/x)[/mm]
> ,

Das stimmt so nicht ganz, du musst ja diverse Fälle betrachten, je nachdem, in welchem Quadranten $z$ liegt. Außerdem musst du den Fall $x=0$ beachten ...

> hier also [mm]\phi = arctan(0)[/mm]

Hier (da x<0 und y>=0) arctan(y/x)+pi

Aber das Argument von -1 musst du hoffentlich nicht ausrechnen, das kannst du doch direkt ablesen. Mal dir das mal auf, dann siehst du doch direkt, dass das mit der poitiven reellen Achse einen Winkel von pi einschließt ...

>

> Jetzt ist aber blöd, dass der arctan mehrdeutig ist und
> damit wir auf die richtigen Lösungen kommen müssen wir um
> [mm]\pi[/mm] verschieben

>

> dann also

>

> [mm]z_0 = exp(i (\frac{\pi + 2 \pi 0}{4})[/mm]
> .
> .
> .
> .
> [mm]z_3 =exp(i (\frac{\pi + 2 \pi 3}{4})[/mm]

>

> Warum ist also

>

> -1 = 1 [mm]exp(\pi[/mm] / 4)

Wieso sollte das gelten?

Es ist exp(pi/4)>0; im Reellen ist die Exponentialfunktion stets >0 ...

>

> wenn man mit der üblichen Formel von Polarkoordinaten [mm](z= r \cdot exp(i \phi)) [/mm]auf
> -1 = 1 exp(0) kommen würde ?

Zeige mal wie du auf was kommst?!?!

Es ist -1=|-1|*(cos(pi)+isin(pi))=exp(pi*i)

>
>

> Lg und Danke

>

> Peter

Gruß

schachuzipus

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