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Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:57 Mi 11.02.2009
Autor: NightmareVirus

Aufgabe
Bestimmen Sie alle Wurzeln der Gleichung
[mm] z^{6} [/mm] = -1
und skizzieren Sie die Lage der Wurzeln in der komplexen Ebene.

Wir sind gerade über diese Aufgabe gestolpert bei der Vorbereitung auf unsere Klausur. Eigentlich hatten wir den Aufgabentyp schon abgeschlossen, jedoch kriegen wir bei dieser Aufgabe keine richtige Lösung heraus.

Zunächst

[mm] z^6 [/mm] = -1 => [mm] |z^6| [/mm] = |-1| => [mm] |z|^6 [/mm] = 1 => z = 1

Somit haben wir für Winkel [mm] \Phi [/mm] und Radius r die Werte.

6 [mm] \Phi [/mm] = 0 + [mm] 2k\Pi [/mm] und [mm] r^6 [/mm] = 1

Und genau an dieser Stelle scheint auch das Problem zu liegen. Wir wissen nicht warum bei bisherigen Aufgaben immer explizit 6 [mm] \Phi [/mm] = 0 [mm] +2k\Pi [/mm] aufgeschrieben wurde.

Mit diesen Werten gelangen wir zu einer Lösung die um genau [mm] \pi [/mm] gedreht ist. D.h. vermutlich müssten wir für den Winkel anstelle von
6 [mm] \Phi [/mm] = 0 + [mm] 2k\Pi [/mm]
6 [mm] \Phi [/mm] = [mm] \Pi [/mm] + [mm] 2k\Pi [/mm]
verwenden.

Wir wissen jedoch absolut nicht wieso und wie man darauf kommt!

Ich hoffe uns kann jemand heute noch helfen. Die Klausur ist morgen ;)

Danke

        
Bezug
Einheitswurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:03 Mi 11.02.2009
Autor: fred97


> Bestimmen Sie alle Wurzeln der Gleichung
>  [mm]z^{6}[/mm] = -1
>  und skizzieren Sie die Lage der Wurzeln in der komplexen
> Ebene.
>  Wir sind gerade über diese Aufgabe gestolpert bei der
> Vorbereitung auf unsere Klausur. Eigentlich hatten wir den
> Aufgabentyp schon abgeschlossen, jedoch kriegen wir bei
> dieser Aufgabe keine richtige Lösung heraus.
>  
> Zunächst
>  
> [mm]z^6[/mm] = -1 => [mm]|z^6|[/mm] = |-1| => [mm]|z|^6[/mm] = 1 => z = 1

Das soll wohl |z|=1 lauten


>  
> Somit haben wir für Winkel [mm]\Phi[/mm] und Radius r die Werte.
>  
> 6 [mm]\Phi[/mm] = 0 + [mm]2k\Pi[/mm] und [mm]r^6[/mm] = 1
>  
> Und genau an dieser Stelle scheint auch das Problem zu
> liegen. Wir wissen nicht warum bei bisherigen Aufgaben
> immer explizit 6 [mm]\Phi[/mm] = 0 [mm]+2k\Pi[/mm] aufgeschrieben wurde.


Vielleicht , weil Ihr bislang die Wrzeln aus 1 gezogen habt ?  das Argument von 1 ist = 0.




>  
> Mit diesen Werten gelangen wir zu einer Lösung die um genau
> [mm]\pi[/mm] gedreht ist. D.h. vermutlich müssten wir für den Winkel
> anstelle von
> 6 [mm]\Phi[/mm] = 0 + [mm]2k\Pi[/mm]
>  6 [mm]\Phi[/mm] = [mm]\Pi[/mm] + [mm]2k\Pi[/mm]
>  verwenden.


Richtig. Das Argument von -1 ist [mm] \pi [/mm]

FRED


>  
> Wir wissen jedoch absolut nicht wieso und wie man darauf
> kommt!
>  
> Ich hoffe uns kann jemand heute noch helfen. Die Klausur
> ist morgen ;)
>  
> Danke


Bezug
                
Bezug
Einheitswurzeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Mi 11.02.2009
Autor: NightmareVirus

>> $ [mm] z^6 [/mm] $ = -1 => $ [mm] |z^6| [/mm] $ = |-1| => $ [mm] |z|^6 [/mm] $ = 1 => z = 1

>Das soll wohl |z|=1 lauten

Ja richtig!

>Vielleicht , weil Ihr bislang die Wrzeln aus 1 gezogen habt ?

Das stimmt!

> das Argument von 1 ist = 0.
> Das Argument von -1 ist $ [mm] \pi [/mm] $

Gibt es da eine Formel für, oder wie kommt man darauf?

Das Argument von z ist ja der Winkel [mm] \Phi. [/mm] D.h. für jede reelle Zahl x (die ja im komplexen auf der x-Achse liegt)
Ist das Argument von x = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ positiv} \\ \pi, & \mbox{falls } x \mbox{ negativ} \end{cases} [/mm]

korrekt?

Wie sieht es für das Argument von 0 aus?

arg(0) = 0?


Bezug
                        
Bezug
Einheitswurzeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:27 Mi 11.02.2009
Autor: fred97


> >> [mm]z^6[/mm] = -1 => [mm]|z^6|[/mm] = |-1| => [mm]|z|^6[/mm] = 1 => z = 1
>  
> >Das soll wohl |z|=1 lauten
>  
> Ja richtig!
>  
> >Vielleicht , weil Ihr bislang die Wrzeln aus 1 gezogen
> habt ?
>  
> Das stimmt!
>  
> > das Argument von 1 ist = 0.
>  > Das Argument von -1 ist [mm]\pi[/mm]

>  
> Gibt es da eine Formel für, oder wie kommt man darauf?
>  
> Das Argument von z ist ja der Winkel [mm]\Phi.[/mm] D.h. für jede
> reelle Zahl x (die ja im komplexen auf der x-Achse liegt)
> Ist das Argument von x = [mm]\begin{cases} 0, & \mbox{falls } x \mbox{ positiv} \\ \pi, & \mbox{falls } x \mbox{ negativ} \end{cases}[/mm]
>  
> korrekt?

Ja


Was ist das Argument von [mm] $\pi$ [/mm] ?

>  
> Wie sieht es für das Argument von 0 aus?
>  
> arg(0) = 0?


Üblicherweise def. man das Argument zur für Zahlen [mm] \not= [/mm] 0

>  


Bezug
                                
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Einheitswurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:39 Mi 11.02.2009
Autor: NightmareVirus

Das Argument von x = [mm] \Pi [/mm] müsste 0 sein da, x [mm] \in (-\Pi,\Pi] [/mm]

Für x = [mm] -\Pi [/mm] ergibt sich dann:
Da [mm] \phi [/mm] + [mm] 2\Pi [/mm] = [mm] \phi [/mm] gilt müsste das Argument von
[mm] -\Pi [/mm] = [mm] -\Pi +2\Pi [/mm] = [mm] \Pi [/mm] auch wieder 0 sein.

ok?

Bezug
                                        
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Einheitswurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:47 Mi 11.02.2009
Autor: fred97

Pardon, ich habe mich oben verschrieben.

Ich wollte von Dir wissen, was das Argument von $i$ ist.

.....  und von $-i$ ...   und von $1+i$

Nur zu Übungszwecken !!

FRED

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Einheitswurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:21 Mi 11.02.2009
Autor: NightmareVirus

arg(i) = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm]
arg(-i) = [mm] \bruch{3\pi}{2} [/mm]
arg(i+1) = [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm]

Habe ich jetzt einfach mal so am Einheitskreis "abgelesen"

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Einheitswurzeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:40 Mi 11.02.2009
Autor: fred97

O.K.

FRED

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