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| Aufgabe | Sei K ein angeordneter Körper mit dem Einselement [mm] 1_{k}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{x}1_{k} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{y}1_{k}
[/mm]
Beweise x=y |
Ist eigentlich ein längerer Beweis, aber hier komme ich nun nicht weiter.
Darf man für jeden angeordneten Körper sagen, dass
[mm] 1_{k}+1_{k}+1_{k}=3*1_{k} [/mm] gilt?
Ich frage deßhalb, weil wir im Script allesmögliche an Rechenregeln bewiesen haben, hierzu steht aber nichts, darum bin ich mir unsicher.
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Hallo carlosfritz,
ich weiß jetzt nicht genau, wie ihr einen angeordneten Körper definiert habt, aber im Allgemeinen muss doch keine "3" darin sein, oder? Also kannst du
[mm]1_{k}+1_{k}+1_{k}=3*1_{k}[/mm]
nicht so ohne weiteres behaupten.
Ich weiß zwar nicht, was ihr alles schon bewiesen habt, aber kannst du aus
[mm] $\sum_{k=1}^{x}1_{K} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{y}1_{K}$
[/mm]
nicht folgern (mit o.E. [mm] $x\le [/mm] y$), dass
[mm] $\sum_{k=1}^{y-x}1_{K} [/mm] = [mm] 0_{K}$
[/mm]
und dann anwenden, dass die Charakteristik eines geordneten Körpers immer = 0 ist, also wohl oder übel
$y-x = [mm] 0_{K}$
[/mm]
sein muss, also
$x = y$ ?
Dass die Charakteristik eines geordneten Körpers = 0 ist, folgt aus [mm] $0_{K} [/mm] < [mm] 1_{K}$ [/mm] und somit mit Induktion (oder was auch immer) [mm] $0_{K} [/mm] < [mm] 1_{K} [/mm] + ... + [mm] 1_{K}$.
[/mm]
Um das anzuwenden, müsst ihr ja nicht unbedingt erklärt haben, was eine Charakteristik eigentlich ist.
Grüße,
Stefan
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Okay, vielen Dank.
Richtig, dass 3 nicht Element von K sein könnte ist mir gar nicht in den Sinn gekommen.
Außerdem könnte doch auch die Multiplikation so definiert sein, dass nicht unbedingt gelten muss
3*x = x+x+x
oder?
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Hallo carlosfritz,
> Außerdem könnte doch auch die Multiplikation so definiert
> sein, dass nicht unbedingt gelten muss
>
> 3*x = x+x+x
>
> oder?
Genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") . Schließlich muss 3 in dem Körper nicht die Bedeutung haben, die wir darunter intuitiv verstehen. Klarer wird das noch, wenn du statt "3" einfach mal "a" schreibst 
Grüße,
Stefan
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