Einstellige Prädikate < Prädikatenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Do 10.07.2008 | | Autor: | Flamy |
| Aufgabe | Für die einstelligen Prädikate P,Q,R zeige man:
[mm] \forall{x}((Px \vee [/mm] Qx) [mm] \to [/mm] Rx) |= [mm] \neg\exists{x}(Px \wedge [/mm] Qx [mm] \wedge \neg{Rx}) [/mm] |
Hallo,
zu aller erst habe ich eine allgemeine Frage. Und zwar was bedeuten die Symbole |- und |= leider habe ich dazu keinen Eintrag in den Tex-Formeln gefunden. Dann habe ich leider das Problem, dass ich mit der Prädikatenlogik (noch) nicht viel Anfagen kann und daher einen Ansatz bzw. eine kleine Erklärung brauchen könnte wie ich mit meiner Aufgabe verfahre.
Beste Grüße
Jan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Do 10.07.2008 | | Autor: | n8Mare |
ich hab bezueglich dieser Aufgabe ebenfalls ein Problem
ich hab das ganze im ersten Schritt mal versucht syntaktisch zu loesen in dem ich den linken Teil umforme so das er gleich dem rechts ist:
[mm] \forall{x}( \neg [/mm] (Px [mm] \vee [/mm] Qx) [mm] \vee [/mm] Rx)
[mm] \forall{x} \neg( [/mm] (Px [mm] \vee [/mm] Qx) [mm] \wedge \neg [/mm] Rx)
[mm] \neg\exists{x} [/mm] ( (Px [mm] \vee [/mm] Qx) [mm] \wedge \neg [/mm] Rx)
soweit komme ich, nur scheint es mir jetzt so dass diese beiden Ausdruecke einfach nicht gleich sind was ich doch aber eigentlich zeigen muesste oder?
mann kann das ganze ja wohl auch mit Mengeninklusion loesen, welche ich aber nicht verstanden habe
evtl hat ja jmd einen Link?
evtl bin ich auch komplett falsch an die sache heran gegangen (mal davon abgesehen das ich semantisch haette vorgehen muesste)
edit:
sorry hab deine Frage gar nicht beachtet
hier meine erklaerung (keine gewähr!):
|- ist syntaktisch
|= ist semantisch
beide ausdruecke besagen das aus dem links stehenden Teil der rechts stehende Teil gefolgert werden kann.
im endeffekt ist man also am ziel wenn auf beiden Seiten das gleiche steht.
ist der ausdruck syntaktisch gehst du in der Zeichensprache vor in der das ganze von vornherein gehalten ist.
ist es semantisch musst du es erst "uebersetzen"
bspw. wuerde diese aufgabe dann so aussehen:
(alle a [mm] \in [/mm] A)((a [mm] \in [/mm] P oder a [mm] \in [/mm] Q) dann a [mm] \in [/mm] R) |= nicht(ex a [mm] \in [/mm] A)(a [mm] \in [/mm] P und a [mm] \in [/mm] Q und nicht (a [mm] \in [/mm] R))
fuer x wird also eine andere Variable genutzt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Fr 11.07.2008 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen,
> [mm]\forall{x}( \neg[/mm] (Px [mm]\vee[/mm] Qx) [mm]\vee[/mm] Rx)
Verwende hier in einem Zwischenschritt, daß [mm] $\neg [/mm] (Px [mm] \vee [/mm] Qx) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] (Px [mm] \wedge [/mm] Qx)$ gilt.
> [mm]\forall{x} \neg([/mm] (Px [mm]\vee[/mm] Qx) [mm]\wedge \neg[/mm] Rx)
>
> [mm]\neg\exists{x}[/mm] ( (Px [mm]\vee[/mm] Qx) [mm]\wedge \neg[/mm] Rx)
>
> soweit komme ich, nur scheint es mir jetzt so dass diese
> beiden Ausdruecke einfach nicht gleich sind was ich doch
> aber eigentlich zeigen muesste oder?
nicht ganz. Du hast bislang nur Äquivalenzumformungen benutzt. Würdest du damit auf die rechts stehende Formel kommen, dann hättest du Äquivalenz gezeigt. Gefragt ist aber nur die Implikation.
> gegangen (mal davon abgesehen das ich semantisch haette
> vorgehen muesste)
Was meinst du denn hier mit "semantisch"?
Eine Semantik ist durch eine Struktur S über einem Typ [mm] $\tau$ [/mm] gegeben.
Aber hier sehe ich keine Struktur, sondern nur eine Formel.
Gezeigt werden soll die logische Implikation (d.h. in ALLEN Strukturen gültige)
Deine Vorgehensweise ist also richtig.
Gruß
Will
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:54 Fr 11.07.2008 | | Autor: | n8Mare |
so ganz verstanden hab ich dich jetzt nicht
das mit der implikation stimmt naturlich
wenn ich das ganz also nun in dieser Form schreibe:
|= [mm] \forall{x}( [/mm] (Px [mm] \vee [/mm] Qx) -> Rx) -> [mm] \neg\exists{x} [/mm] ( Px [mm] \wedge [/mm] Qx [mm] \wedge \neg [/mm] Rx)
muesste ich ja nun nur noch "0 dann 1" zeigen
also den einen Ausdruck gleich dem negativen des anderen dann haette ich [mm] \neg [/mm] a v a was 1 entspricht.
stimmt das so weit?
das kommt jedoch nicht hin weil ich nicht verstehe wie ich [mm] \neg [/mm] (Px [mm] \vee [/mm] Qx) [mm] \Rightarrow \neg [/mm] (Px [mm] \wedge [/mm] Qx) zeigen soll. das es stimmt ist mir klar
deswegen habe ich einen "kleinen" umweg genommen und hab einzeln umgeformt:
|= [mm] \forall{x}( [/mm] (Px [mm] \vee [/mm] Qx) -> Rx) -> [mm] \neg\exists{x} [/mm] ( Px [mm] \wedge [/mm] Qx [mm] \wedge \neg [/mm] Rx)
|= [mm] \neg\forall{x}( \neg [/mm] (Px [mm] \vee [/mm] Qx) v Rx) v [mm] \neg\exists{x} [/mm] ( Px [mm] \wedge [/mm] Qx [mm] \wedge \neg [/mm] Rx)
|= [mm] \exists{x}((Px \vee [/mm] Qx) v [mm] \neg [/mm] Rx) v [mm] \neg\exists{x} [/mm] ( Px [mm] \wedge [/mm] Qx [mm] \wedge \neg [/mm] Rx)
|= [mm] (\exists{x}(Px \vee [/mm] Qx) v [mm] \neg\exists{x} [/mm] Rx) v [mm] \neg\exists{x} [/mm] ( Px [mm] \wedge [/mm] Qx [mm] \wedge \neg [/mm] Rx)
.
.
.
|= [mm] (\exists{x}Px \wedge \exists\neg [/mm] Rx) v [mm] (\exists{x} \neg [/mm] Rx [mm] \wedge \exists{x}Qx) [/mm] v [mm] \neg\exists{x}Px \vee \neg\exists{x}Qx \vee \neg\exists{x}\negRx
[/mm]
das ganze kuerzt sich dann weg und mann erhaelt 1
diese Methode ist aber extrem fehleranfaellig
deswegen wuerde ich eigentlich lieber mengeninklusion anwenden, die ich aber, wie gesagt nicht wirklich verstehe.
evtl hat jmd zeit und muße oder auch nen link?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Mo 14.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:01 Fr 11.07.2008 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen,
> Für die einstelligen Prädikate P,Q,R zeige man:
>
> [mm]\forall{x}((Px \vee[/mm] Qx) [mm]\to[/mm] Rx) |= [mm]\neg\exists{x}(Px \wedge[/mm]
> Qx [mm]\wedge \neg{Rx})[/mm]
schau mal weiter unten in der Diskussion.
> Hallo,
> zu aller erst habe ich eine allgemeine Frage. Und zwar was
> bedeuten die Symbole |- und |= leider habe ich dazu keinen
> Eintrag in den Tex-Formeln gefunden. Dann habe ich leider
[mm] $\vdash$ [/mm] und [mm] $\models$
[/mm]
Gruß
Will
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