Eintauchtiefe x_{e} < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Betrachten Sie den Körper, der durch Drehung der Kettenlinie y = coshx um die x-Achse enteht und zwischen den Schnitten bei x = 0 und x = [mm] x_{0} [/mm] liegt. Berechnen Sie, wieviel Wasser dieser Körper verdrängt, wenn er voll versenkt ist.
Angenommen das Material des Körpers besitzt eine Dichte von [mm] 0,9g/cm^{3}. [/mm] Wie tief sinkt der Körper in das Wasser ein, wenn er mit der Rotationsachse senkrecht zur Wasseroberfläche aufgesetzt wird, wobei die Schnittfläche bei der Koordinate x = [mm] x_{0} [/mm] nach unten zeight? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Das Volumen des Körpers war relativ simpel auszurechnen
[mm] V_{K}= \pi \integral_{0}^{x_{0}}{cosh^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \pi \bruch{1}{2} (sinh(x_{0})cosh(x_{0}) [/mm] + [mm] x_{0})
[/mm]
Um die zweite Teilfrage zu berechnen habe ich nun den Satz aus der Physik zur HIlfe genommen der besagt das ein Körper dann schwimmt wenn seine Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft ist.
[mm] g*V_{K}*D(ichte)_{K} [/mm] = [mm] g*V_{E(ingetaucht)}*D_{W(asser)}
[/mm]
[mm] V_{K}*D_{K} [/mm] = [mm] V_{E}*D_{W}
[/mm]
[mm] x_{e} [/mm] soll die Eintauchtiefe sein und mit [mm] D_{W} [/mm] = 1 kommt man auf
0,9 [mm] \pi \integral_{0}^{x_{0}}{cosh^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \pi \integral_{x{e}}^{x_{0}}{cosh^{2}(x) dx} [/mm]
Nach ein paar Umformung gelang ich dann auf
[mm] \bruch{1}{2}sinh(2x_{e}) [/mm] + [mm] x_{e} [/mm] = [mm] 0,1(\bruch{1}{2}sin(2x_{0} [/mm] + [mm] x_{0})
[/mm]
Meine Frage wäre nun wie ich diese Gleichung nach [mm] x_{e} [/mm] auflösen kann. Oder ob es vielleicht noch einen einfacheren Weg gibt die Eintauchtiefe zu ermittlen.
|
|
| |
|
Genau diese Frage gabs gestern hier schon.
Es gibt keine algebraische Lösung für die letzte Gleichung. Wenn die "länge" des Körpers bekannt ist, kannst du die eintauchtiefe höchstens numerisch bestimmen.
|
|
|
|
