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Eisenstein-Reihen: Hecke's Trick
Status: (Frage) für Interessierte Status 
Datum: 23:38 Mo 14.03.2005
Autor: holy_diver_80

Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.

Ich soll zeigen, daß sich die Reihe
[mm] G_2(\tau)=\bruch{-1}{8 \pi^2} \summe_{m,n \in \IZ \backslash \{(0,0)\}} \bruch{1}{(m \tau + n)^{2}} [/mm]
wie eine Modulform verhält.

Dazu habe ich in der Literatur folgendes gefunden: Betrachte
[mm] G_2^\* [/mm] = [mm] \bruch{-1}{8 \pi^2} \limes_{\epsilon \rightarrow 0} \summe_{m,n \in \IZ \backslash \{(0,0)\}} \bruch{1}{(m \tau + n)^{2} |m \tau +n|^\epsilon} [/mm]
wobei [mm] \epsilon [/mm] von oben gegen 0 geht.

Ich soll dabei zunächst die Poissonsche Summenformel
[mm] \summe_{n \in \IZ} \phi(x+n) [/mm] = [mm] \summe_{r \in \IZ} \integral_{\IR} \phi(t) [/mm] exp(-2 [mm] \pi [/mm] i r t) dt exp(2 [mm] \pi [/mm] i r x)
anwenden, und dann den Limes [mm] \epsilon [/mm] von oben gegen 0 betrachten.
Dann, so mein Buch, sollte es ein leichtes sein, zur Fourierentwicklung von [mm] G_2^\*zu [/mm] kommen, und es gilt
[mm] G_2^\* (\tau) [/mm] = [mm] G_2 (\tau) [/mm] + (8 [mm] \pi v)^{-1} [/mm]

Kann mir bitte jemand diese Umformung im Detail erklären.

        
Bezug
Eisenstein-Reihen: Erläuterung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:32 Di 15.03.2005
Autor: holy_diver_80

Mir ist gerade aufgefallen, daß ich nicht erklärt habe, was dieses v ganz unten in der letzten Formel zu bedeuten hat. Es gilt: [mm] \tau [/mm] = u + iv

Bezug
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