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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:41 Mo 03.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
| Aufgabe | Für k [mm] \ge [/mm] 2 konvergiert die k-te Eisensteinreihe [mm] \epsilon_{k}: \IC [/mm] \ [mm] \IZ \to \IC, [/mm] z [mm] \mapsto \summe_{n \in \IZ} \bruch{1}{(z+n)^{k}} [/mm] normal. Sei [mm] \epsilon'_{k}(z) [/mm] := [mm] \epsilon_{k}(z) [/mm] - [mm] \bruch{1}{z^{k}} [/mm] für z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \IZ [/mm] und k [mm] \ge [/mm] 1. Es gelte [mm] \epsilon'_{1} [/mm] = [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) - [mm] \bruch{1}{z}. [/mm] (Hier ist mit [mm] \epsilon' [/mm] nicht die Ableitung gemeint!)
Zeige:
[mm] \epsilon'^{(k)}_{1}(z) [/mm] = (-1) k! [mm] \epsilon'_{k+1}
[/mm]
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Hallo Forum,
ich komm bei der Aufgabe nicht wirklich weit und bitte euch darum um Hilfe.
Wäre nett, wenn ihr mir da weiter helfen könntet.
Ich hab schonmal folgendes gemacht:
Es ist ja [mm] \epsilon'_{1}(z) [/mm] = [mm] \epsilon_{1}(z) [/mm] - [mm] \bruch{1}{z} [/mm] = [mm] \pi cot(\pi [/mm] z) - [mm] \bruch{1}{z} [/mm]
Dann hab ich das mal mehrmals abgeleitet:
[mm] \epsilon'^{(1)}_{1}(z) [/mm] =...... = [mm] \bruch{- \pi^{2}}{(sin \pi z)^{2}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z^{2}}
[/mm]
[mm] \epsilon'^{(2)}_{1}(z) [/mm] = ....= [mm] \bruch{2 \pi^{3}}{(sin \pi z)^{3}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z^{3}}
[/mm]
[mm] \epsilon'^{(3)}_{1}(z) [/mm] = ....= [mm] \bruch{-6 \pi^{4}}{(sin \pi z)^{4}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z^{4}}
[/mm]
usw.
Also hab ich mal versucht, eine allgemeine Formel aufzustellen:
[mm] \epsilon'^{(k)}_{1}(z) [/mm] = [mm] (-1)^{k} [/mm] k! [mm] \bruch{\pi^{k+1}}{(sin \pi z)^{k+1}} [/mm] + [mm] (-1)^{k+1} \bruch{1}{z^{k+1}}
[/mm]
Jetzt hab ich ein Problem, denn ich soll ja zeigen, dass [mm] \epsilon'^{(k)}_{1}(z) [/mm] = (-1) k! [mm] \epsilon'_{k+1}
[/mm]
Für [mm] \epsilon'_{k+1} [/mm] = [mm] \epsilon_{k+1}(z) [/mm] - [mm] \bruch{1}{z^{k+1}} [/mm] = [mm] \summe_{n \in \IZ} \bruch{1}{(z+n)^{k+1}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{z^{k+1}} [/mm] (nach Angabe)
Ich weiß jetzt nicht, wie ich auf die Gleichheit der beiden Reihen kommen soll. Hab ich was falsch gemacht?
Vielleicht kann mir ja jemand weiter helfen. Das wäre sehr nett.
Viele Grüße,
Mini
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Fr 07.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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