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| Aufgabe | Es seien [mm] f:=t^4 [/mm] + [mm] \overline{2} \cdot t^3 [/mm] - t - [mm] \overline{2} [/mm] und g:= [mm] t^3 [/mm] + [mm] \overline{2} \cdot t^2 [/mm] - [mm] \overline{2} \cdot [/mm] t - [mm] \overline{1} [/mm] Elemente des Polynomringes [mm] Z_{5}[/mm] [t]
(a) Berechnen Sie einen Erzeuger des Ideals I:= (f,g)
(b) Liegt das Polynom h:= [mm] t^{1541} [/mm] + [mm] \overline{3} \cdot t^{156} [/mm] + [mm] t^2 [/mm] + [mm] \overline{1} [/mm] in I? |
Hi Leute,
zur (a)
aus der Vorlesung weiß ich, dass wenn g = ggt(a,b) dann gilt: (a,b) = (g).
Also hab ich mittels euklidischem Algorithmus den ggt von f und g ermittelt und habe "$ -t + [mm] \overline{1} [/mm] $" rausbekommen.
Somit: (f,g) = [mm] (-t+\overline{1})
[/mm]
Nun zum eigentlichen Problem, zur (b):
Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie man diese Aufgabe (am besten) löst?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:17 Do 10.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es seien [mm]f:=t^4[/mm] + [mm]\overline{2} \cdot t^3[/mm] - t - [mm]\overline{2}[/mm]
> und g:= [mm]t^3[/mm] + [mm]\overline{2} \cdot t^2[/mm] - [mm]\overline{2} \cdot[/mm] t
> - [mm]\overline{1}[/mm] Elemente des Polynomringes [mm]Z_{5}[/mm] [t]
> (a) Berechnen Sie einen Erzeuger des Ideals I:= (f,g)
> (b) Liegt das Polynom h:= [mm]t^{1541}[/mm] + [mm]\overline{3} \cdot t^{156}[/mm] + [mm]t^2[/mm] + [mm]\overline{1}[/mm] in I?
> Hi Leute,
>
> zur (a)
> aus der Vorlesung weiß ich, dass wenn g = ggt(a,b) dann gilt: (a,b) = (g).
> Also hab ich mittels euklidischem Algorithmus den ggt von f und g ermittelt und habe "[mm] -t + \overline{1} [/mm]" rausbekommen.
> Somit: (f,g) = [mm](-t+\overline{1})[/mm]
>
> Nun zum eigentlichen Problem, zur (b):
> Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie man diese Aufgabe (am besten) löst?
Mache Division mit Rest von $h$ mit $-t + [mm] \overline{1}$ [/mm] (oder einfacher $t - [mm] \overline{1}$). [/mm] Ueberlege dir nun, was der Rest aussagt. (Was bedeutet es, dass $t - [mm] \overline{1}$ [/mm] ein Erzeuger von $I$ ist?)
LG Felix
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> Mache Division mit Rest von [mm]h[/mm] mit [mm]-t + \overline{1}[/mm] (oder einfacher [mm]t - \overline{1}[/mm]). Ueberlege dir nun, was der Rest aussagt. (Was bedeutet es, dass [mm]t - \overline{1}[/mm] ein Erzeuger von [mm]I[/mm] ist?)
>
> LG Felix
>
Hallo Felix,
1. Warum ist $-t + [mm] \overline{1}$ [/mm] das gleiche wie $t - [mm] \overline{1}$ [/mm] ? in [mm] Z_5 [/mm] ist $- [mm] \overline{1}$ [/mm] doch das gleiche wie [mm] $\overline{-1+5} [/mm] = [mm] \overline{4}$ [/mm] .
Also könnte ich $-t + [mm] \overline{1}$ [/mm] allenfalls in $4t + [mm] \overline{1}$ [/mm] umschreiben. Oder übersehe ich da etwas?
Aber ich glaube dir mal (  ) und habe als Ergebnis der Division
[mm] $t^{1541} [/mm] $ + $ [mm] \overline{3} \cdot t^{156} [/mm] $ + $ [mm] t^2 [/mm] $ + $ [mm] \overline{1} [/mm] $ : $ t - [mm] \overline{1} [/mm] $ = [mm] $t^{1540}$ [/mm] Rest: [mm] $t^{1540} [/mm] + [mm] \overline{3} \cdot t^{156} [/mm] $ + $ [mm] t^2 [/mm] $ + $ [mm] \overline{1} [/mm] $
Hm, leider kam mir hier noch nicht die große Erleuchtung :-( .
Wenn $t - [mm] \overline{1}$ [/mm] das Erzeugnis von U ist, dann sind alle Elemente in U Vielfache von $t - [mm] \overline{1}$.
[/mm]
Also müsste sich h in die Form $(t - [mm] \overline{1})^n$ [/mm] ,n [mm] \in \IZ [/mm] ,bringen lassen. Oder?
Wenn das der Fall ist würde ich sagen, dass h nicht in I liegt, da, wenn ich $(t - [mm] \overline{1})^n$ [/mm] ausmultipliziere, ja auch Terme mit [mm] $t^{1540}$ [/mm] , [mm] $t^{1539}$ [/mm] , [mm] $t^{1538}$ [/mm] ,... vorkommen müssten. (Ok, bei manchen könnte auch ein Koeffizient davor stehen, der die 5 teilt und somit wegfällt. Aber dass das bei allen bis auf diese vier der Fall ist, ist eher unwahrscheinlich).
Stimmen meine Gedanken soweit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 11.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> 1. Warum ist [mm]-t + \overline{1}[/mm] das gleiche wie [mm]t - \overline{1}[/mm]
> ? in [mm]Z_5[/mm] ist [mm]- \overline{1}[/mm] doch das gleiche wie
> [mm]\overline{-1+5} = \overline{4}[/mm] .
> Also könnte ich [mm]-t + \overline{1}[/mm] allenfalls in [mm]4t + \overline{1}[/mm]
> umschreiben. Oder übersehe ich da etwas?
Du hast schon recht, es ist [mm]-t + \overline{1} \not= t - \overline{1}[/mm]. Das hat Felix aber auch nicht behauptet. Es ist aber so, dass [mm]-t + \overline{1}[/mm] und [mm]t - \overline{1}[/mm] das gleiche Ideal in [mm]\IZ_5[t][/mm] erzeugen, da sie sich nur um den Faktor einer Einheit, nämlich [mm]-\overline{1}=\overline{4}[/mm] unterscheiden. Daher kannst du als Erzeuger deines Ideals eben auch [mm]t - \overline{1}[/mm] betrachten.
>
> Aber ich glaube dir mal ( ) und habe als Ergebnis der
> Division
> [mm]t^{1541}[/mm] + [mm]\overline{3} \cdot t^{156}[/mm] + [mm]t^2[/mm] + [mm]\overline{1}[/mm]
> : [mm]t - \overline{1}[/mm] = [mm]t^{1540}[/mm] Rest: [mm]t^{1540} + \overline{3} \cdot t^{156}[/mm]
> + [mm]t^2[/mm] + [mm]\overline{1}[/mm]
> Hm, leider kam mir hier noch nicht die große Erleuchtung
> :-( .
Führe die Polynomdivision mal weiter aus, also teile den Rest [mm]t^{1540} + \overline{3} \cdot t^{156}+ t^2 + \overline{1}[/mm] wieder durch [mm]t-\overline{1}[/mm]. Keine Angst, du musst nicht alle Schritte ausführen. Du wirst eine Regelmäßigkeit erkennen, die es dir erlaubt die Division deutlich schneller auszuführen. Falls nicht, frage nochmal nach.
> Wenn [mm]t - \overline{1}[/mm] das Erzeugnis von U ist, dann sind
> alle Elemente in U Vielfache von [mm]t - \overline{1}[/mm].
U ist das Erzeugnis von [mm]t - \overline{1}[/mm], bzw. [mm]t - \overline{1}[/mm] der Erzeuger von U. Nur damit hier die Begriffe korrekt sind
> Also
> müsste sich h in die Form [mm](t - \overline{1})^n[/mm] ,n [mm]\in \IZ[/mm]
> ,bringen lassen. Oder?
Nein, für ein Element im Ideal gilt nur, dass es einmal den Linearfaktor [mm]t - \overline{1}[/mm] enthält, z.B. ist auch [mm](t - \overline{1})(t^2+\overline{1}) \in U[/mm] oder [mm]\overline{3}(t-\overline{1}) \in U[/mm]. Alle Elemente aus dem Ideal haben die Form [mm](t-\overline{1})g[/mm] mit [mm]g \in \IZ_5[t][/mm], sie müssen keine Potenzen von [mm]t - \overline{1}[/mm] sein, nur Vielfache eben!
LG Lippel
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Hallo Lippel
> Führe die Polynomdivision mal weiter aus, also teile den Rest [mm]t^{1540} + \overline{3} \cdot t^{156}+ t^2 + \overline{1}[/mm] wieder durch [mm]t-\overline{1}[/mm]. Keine Angst, du musst nicht alle Schritte ausführen. Du wirst eine Regelmäßigkeit erkennen, die es dir erlaubt die Division deutlich schneller auszuführen. Falls nicht, frage nochmal nach.
Also ich habe jetzt nochmal 2-3mal dividiert und behaupte, dass ich die ersten 1385 Quotienten (1385 = 1541 - 156) mit der folgenden Formel erhalte: (sei $ h:= [mm] t^{1541} [/mm] $ + $ [mm] \overline{3} \cdot t^{156} [/mm] $ + $ [mm] t^2 [/mm] $ + $ [mm] \overline{1} [/mm] $ )
$ h:(-t + [mm] \overline{1})^{n}= -\summe_{i=1541-n}^{1541}t^i [/mm] + [mm] \overline{3} \cdot t^{156}+ t^2 [/mm] + [mm] \overline{1}$
[/mm]
Das könnte ich dann jetzt noch weiter machen für den nächsten Summanden:
$ h:(-t + [mm] \overline{1})^{n}= -\summe_{i=1541-n}^{1541}t^i -\overline{3} \summe_{i=1541-n}^{1541}t^i [/mm] + [mm] t^2 [/mm] + [mm] \overline{1}$
[/mm]
Stimmt das? Und wenn ja, was seh ich da jetzt ?
Mal ne Frage: Du hast ja geschrieben "Alle Elemente aus dem Ideal haben die Form [mm] $(t-\overline{1})g$ [/mm] mit g [mm] \in \IZ_5[/mm] [t] ... "
Da ich ja jetzt schon $ [mm] t^{1541} [/mm] $ + $ [mm] \overline{3} \cdot t^{156} [/mm] $ + $ [mm] t^2 [/mm] $ + $ [mm] \overline{1} [/mm] $ einmal durch $ -t + [mm] \overline{1} [/mm] $ geteilt habe und der Rest ($ [mm] t^{1540} [/mm] + [mm] \overline{3} \cdot t^{156} [/mm] $
+ $ [mm] t^2 [/mm] $ + $ [mm] \overline{1} [/mm] $ ) ja in [mm] Z_{5}[/mm] [t] liegt, ist da die Frage denn dann nicht schon beantwortet?
Ciao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 16.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mo 14.03.2011 | | Autor: | SEcki |
> Mache Division mit Rest von [mm]h[/mm] mit [mm]-t + \overline{1}[/mm] (oder einfacher [mm]t - \overline{1}[/mm]). Ueberlege dir nun, was der Rest aussagt. (Was bedeutet es, dass [mm]t - \overline{1}[/mm] ein Erzeuger von [mm]I[/mm] ist?)
Ich würde ja den Einsetzungshomomorphismus [m]P\mapsto P(1)[/m] untersuchen ... oder übersehe ich hier was?
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Mo 14.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Mache Division mit Rest von [mm]h[/mm] mit [mm]-t + \overline{1}[/mm] (oder
> > einfacher [mm]t - \overline{1}[/mm]). Ueberlege dir nun, was der
> > Rest aussagt. (Was bedeutet es, dass [mm]t - \overline{1}[/mm] ein
> > Erzeuger von [mm]I[/mm] ist?)
>
> Ich würde ja den Einsetzungshomomorphismus [m]P\mapsto P(1)[/m]
> untersuchen ... oder übersehe ich hier was?
nein, tust du nicht :)
LG Felix
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Und was bedeutet dieser Einsetzungshomomorphismus und wie hilft mir das?
Ciao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Mi 16.03.2011 | | Autor: | SEcki |
> Und was bedeutet dieser Einsetzungshomomorphismus und wie
> hilft mir das?
Für jedes r bildet der zu r gehörene Einsetzungshomomorphismus ein Polynom P auf P(r) ab. Jetzt schau mal was für das Ideal I dabei rauskommt, aber was für das zu untersuchene Polynom.
SEcki
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