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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f(x)= ax² - 4a und g(x)= -ax² + 4a mit a [mm] \in \IR.
[/mm]
a) Zeigen sie, dass sich die beiden Funktionen unabhängig von a stets in denselben Punkten schneiden. Geben sie diese Schnittpunkte auch an!
b) Wie muss der Parameter a gewählt werden, damit sich die beiden Funktionen orthogonal schneiden? |
Hallo Leute,
mein erster Gedanke für Teilaufgabe a) war, die Funktionen gleichzusetzen um die x-Werte der Schnittpunkte zu ermitteln, aber dies ist im diesen Fall wohl nicht möglich. Hätte von euch jmd. einen Ansatz der mir beim Erarbeiten der Lösung helfen kann?
Für Teilaufgabe b) werde ich wohl auf die Bedingung m1 [mm] \* [/mm] m2 = -1 benötigen, oder? Meine Skizze konnte mir bisher zwar ersten Aufschluss geben, aber ich würde gerne auch rechnerisch zum Ziel kommen!
Ich hoffe mir kann jmd. für beide Teilaufgaben einen ersten Ansatz liefern.
Liebe Grüße, fackelschein
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und herzlich willkommen hier im Forum.
> Gegeben sind die Funktionen f(x)= ax² - 4a und g(x)= -ax²
> + 4a mit a [mm]\in \IR.[/mm]
> a) Zeigen sie, dass sich die beiden
> Funktionen unabhängig von a stets in denselben Punkten
> schneiden. Geben sie diese Schnittpunkte auch an!
> b) Wie muss der Parameter a gewählt werden, damit sich
> die beiden Funktionen orthogonal schneiden?
> Hallo Leute,
>
> mein erster Gedanke für Teilaufgabe a) war, die Funktionen
> gleichzusetzen um die x-Werte der Schnittpunkte zu
> ermitteln, aber dies ist im diesen Fall wohl nicht
> möglich. Hätte von euch jmd. einen Ansatz der mir beim
> Erarbeiten der Lösung helfen kann?
Warum soll das in diesem Fall nicht möglich sein.
In Zukunft poste doch direkt deine Ansätze oder die Stelle, wo du nicht weiterkommst.
Also gleichsetzen ist richtig und auch zielführend.
[mm] ax^2-4a=-ax^2+4a <=>2ax^2=8a
[/mm]
Nun bist du dran. Forme die Gleichung nach x um und du wirst sehen, dass diese Lösung unabhängig von a ist.
>
> Für Teilaufgabe b) werde ich wohl auf die Bedingung m1 [mm]\*[/mm]
> m2 = -1 benötigen, oder? Meine Skizze konnte mir bisher
> zwar ersten Aufschluss geben, aber ich würde gerne auch
> rechnerisch zum Ziel kommen!
Wie sieht denn deine Skizze aus? Hast du a=1 gesetzt? Du weißt nach a), dass es 2 Schnittpunkte gibt und du kannst auch die Koordinaten der Schnittpunkte angeben.
Was bedeutet orthogonal? Habt ihr schon das Skalarprodukt eingeführt?
>
> Ich hoffe mir kann jmd. für beide Teilaufgaben einen
> ersten Ansatz liefern.
> Liebe Grüße, fackelschein
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
TheBozz-mismo
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Meine Skizze habe ich mit 1 angesetzt, war das falsch?
Die Schnittpunkte liegen bei den x-Werten 2 und -2, da x² = 4 ergibt.
Die Aufgabe besagt jedoch, dass ich beweisen soll das die Funktionen sich unabhängig von a schneiden und die Schnittpunkte benennen. Heißt das ich soll die Variable einfach 'ausblenden'? Das kann doch sicher nicht Sinn der Sache sein, aber die x-Werte in eine der Ausgangsfunktionen einzusetzen führt mich ja auch nicht zum Ziel - oder soll ich ich auf f(2/-2)=0 stoßen? Ich bin ehrlich gesagt etwas verwirrt, das Ergebnis kann ich ja schlecht als Beweis sehen.
Orthogonal bedeutet für mich, dass ich die Geraden bzw. Tangenten senkrecht (Schnittwinkel 90°) schneiden, und dass sich ihr Schnittpunkt aus m1 mal m2 = -1 bzw. f'(x) mal g'(x) = -1 erschließen lässt. Der Begriff Skalarprodukt ist mir jedoch unbekannt.
Danke für eure Hilfe!
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Hallo nochmal
> Meine Skizze habe ich mit 1 angesetzt, war das falsch?
Nein, nicht falsch, aber bei Funktionsscharen ist es meist sinnvoll, verschiedene Werte für die Schar einzusetzen, z. B. k=-2,-1,0,1,2.
> Die Schnittpunkte liegen bei den x-Werten 2 und -2, da x²
> = 4 ergibt.
>
Richtig!
> Die Aufgabe besagt jedoch, dass ich beweisen soll das die
> Funktionen sich unabhängig von a schneiden und die
> Schnittpunkte benennen. Heißt das ich soll die Variable
> einfach 'ausblenden'?
Was meinst du mit ausblenden? Du sichst die Schnittpunkte von 2 Funktionen und wenn man sie gleichsetzt, bekommt man die Schnittpunkte und in diesem Fall lauten sie (2,0) und (-2,0). Da dort kein a audtaucht, sind die Schnittpunkte unabhängig von a. Mit anderen Worten: Egal, was du für a wählst, die Schnittpunkte bleiben immer die Selben.
Wenn du zum Beispiel als Schnittpunkt (2a,0) herausbekommen hättest, dann wäre dies nicht unabhängig von a, da sich der Schnittpunkt je nach Wert von a verändert.
Das kann doch sicher nicht Sinn der
> Sache sein, aber die x-Werte in eine der Ausgangsfunktionen
> einzusetzen führt mich ja auch nicht zum Ziel - oder soll
> ich ich auf f(2/-2)=0 stoßen? Ich bin ehrlich gesagt etwas
> verwirrt, das Ergebnis kann ich ja schlecht als Beweis
> sehen.
Doch. Damit bist du fertig.
>
> Orthogonal bedeutet für mich, dass ich die Geraden bzw.
> Tangenten senkrecht (Schnittwinkel 90°) schneiden, und
> dass sich ihr Schnittpunkt aus m1 mal m2 = -1 bzw. f'(x)
> mal g'(x) = -1 erschließen lässt. Der Begriff
> Skalarprodukt ist mir jedoch unbekannt.
>
Benutze einfach die Formel von dir bzw. von Fred.
Berechne f'(2),g'(2) und setze die in f'(x)*g'(x)=-1 ein und stelle nach a um.
> Danke für eure Hilfe!
>
>
Gruß
TheBozz-mismo
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Gut, vielen Dank, jetzt ist mir mein Denkfehler auch klar geworden.
Vollkommen falsch war also nicht das, was mir zuerst einfiel, sondern das was ich daraus gemacht habe. c:
Mein Ergebnis für b) wäre nun 0,25 bzw. 1/4 - stimmt das?
Vielen Dank für eure Hilfe, den Fehler werde ich sicher nicht mehr machen. 
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Hallo fackelschein,
> Gut, vielen Dank, jetzt ist mir mein Denkfehler auch klar
> geworden.
> Vollkommen falsch war also nicht das, was mir zuerst
> einfiel, sondern das was ich daraus gemacht habe. c:
>
> Mein Ergebnis für b) wäre nun 0,25 bzw. 1/4 - stimmt
> das?
>
Die Lösung ist richtig.
Es gibt aber noch eine weitere Lösung für a.
> Vielen Dank für eure Hilfe, den Fehler werde ich sicher
> nicht mehr machen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Di 06.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sind die Funktionen f(x)= ax² - 4a und g(x)= -ax²
> + 4a mit a [mm]\in \IR.[/mm]
> a) Zeigen sie, dass sich die beiden
> Funktionen unabhängig von a stets in denselben Punkten
> schneiden. Geben sie diese Schnittpunkte auch an!
> b) Wie muss der Parameter a gewählt werden, damit sich
> die beiden Funktionen orthogonal schneiden?
> Hallo Leute,
>
> mein erster Gedanke für Teilaufgabe a) war, die Funktionen
> gleichzusetzen um die x-Werte der Schnittpunkte zu
> ermitteln, aber dies ist im diesen Fall wohl nicht
> möglich. Hätte von euch jmd. einen Ansatz der mir beim
> Erarbeiten der Lösung helfen kann?
>
> Für Teilaufgabe b) werde ich wohl auf die Bedingung m1 [mm]\*[/mm]
> m2 = -1 benötigen, oder? Meine Skizze konnte mir bisher
> zwar ersten Aufschluss geben, aber ich würde gerne auch
> rechnerisch zum Ziel kommen!
>
> Ich hoffe mir kann jmd. für beide Teilaufgaben einen
> ersten Ansatz liefern.
> Liebe Grüße, fackelschein
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Zu b). Ist [mm] (x_0|y_0) [/mm] einer der gesuchten Punkte aus a), so mußt Du a so bestimmen, dass
[mm] f'(x_0)*g'(x_0)=-1
[/mm]
ist.
FRED
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