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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Elementarmatrizen
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Elementarmatrizen: Bsp.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Sa 05.02.2005
Autor: Reaper

Hallo!
Frage wie zerlege ich eine Matrix in ein Produkt von Elementarmatrizen?
Bsp.:

$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm] in  [mm] (\IZ_{2})^{3}_{3} [/mm]
$
OK eins weiß ich ich muss die Matrix auf die Diagonalform bringen und mir die erforderlichen Elementarmatrizen notieren. Zeilenumformungen gehen ja noch aber wie mache ich Spaltenumformungen?
Ein Beispiel wäre hier sicherlich super
Sind dann das Produkt von Elementarmatrizen meine Notizen von den Elementarmatrizen?


.....Ach ja und danke dass meine restlichen Fragen so schnell beantwortet worden sind.


        
Bezug
Elementarmatrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:26 Sa 05.02.2005
Autor: Stefan

Hallo Reaper!

Das genaue Verfahren wird von Lars hier sehr schön beschrieben. Ich führe es für diesen konkreten Fall hier mal durch:

Wir haben die Matrix [mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] und wollen diese durch elementare Zeilen- und Spaltenumformungen auf Diagonalgestalt bringen. Zeilenumformungen sind dabei Multiplikationen von links, Spaltenumformungen solche von rechts.

Zunächst müssen wir die erste Spalte zur zweiten addieren, um in der ersten Spalte und zweiten Zeile eine Null zu erzeugen. Das geschieht wie folgt:

[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. [/mm]

Um nun in der zweiten Spalte und dritten Zeile eine Null zu erzeugen, machen wir folgendes (wie müssen die zweite und dritte Zeile addieren):

[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. [/mm]

So, und jetzt erzeugen wir durch Multiplikationen mit Elementarmatrizen von rechts (also elementaren Spaltenoperationen) auch Nullen oberhalb der Diagonalen. Es gilt (da wir die erste und dritte Spalte addieren müssen):

[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. [/mm]

In einem letzten Schritt müssen wir nun noch die zweite und dritte Spalte addieren, und erhalten:

[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, [/mm]

also die gewünschte Diagonalmatrix.

Insgesamt haben wir also:

[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$. [/mm]

Dies müssen wir nun nach [mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ [/mm] auflösen. Über [mm] $\IZ_2$ [/mm] sind die Elementarmatrizen aber zu sich selbst invers! Daher gilt einfach:

[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} [/mm] =  [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1} [/mm] =  [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. [/mm]

Dies ist das gewünschte Produkt aus Elementarmatrizen. :-)

Multipliziere es doch mal zur Probe aus und schaue, ob die Ausgangsmatrix wieder herauskommt. :-)

Viele Grüße
Stefan
Bezug
                
Bezug
Elementarmatrizen: Richtigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:33 So 06.02.2005
Autor: Reaper

Hallon danke für die ausführliche Antwort!

Ich möchte mal ein kurzes Bsp. vorrechnen damit ich sehe ob ich es richtig kapiert habe:

[mm] $\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$ [/mm]

Hierbei brauche ich nur eine Spaltenumformung machen:

[mm] $\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] .  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] =  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$ [/mm]

So jetzt habe ich nur eine Matrix die ich zum umformen gebraucht habe. Was heißt jetzt nach  [mm] $\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$ [/mm] umformen?



Bezug
                        
Bezug
Elementarmatrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:21 So 06.02.2005
Autor: Stefan

Hallo Reaper!

> Hallon danke für die ausführliche Antwort!
>  
> Ich möchte mal ein kurzes Bsp. vorrechnen damit ich sehe ob
> ich es richtig kapiert habe:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>  
> Hierbei brauche ich nur eine Spaltenumformung machen:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } . \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } = \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>  
>
> So jetzt habe ich nur eine Matrix die ich zum umformen
> gebraucht habe. Was heißt jetzt nach  [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
> umformen?

Das bedeutet, dass du auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Inversen von [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$ [/mm] multiplizieren musst. Aber das Inverse von [mm] $\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }$ [/mm] ist ja gerade [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]. Also multiplizierst du beide Seiten von rechts mit [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm].

Dann steht dort

[mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm].

Die ist eine Trivialität, aber das ist ja auch kein Wunder, da die Matrix, die du als Produkt von Elementarmatrizen schreiben wolltest, bereits selber eine Elementarmatrix war. ;-)

Also: "Auflösen" bedeutet: Mit den Inversen zu multiplizieren (von links bzw. rechts, je nachdem, wo man etwas "weghaben" will), damit diese sich gegenseitig "eliminieren"...

Viele Grüße
Stefan

Bezug
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