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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 So 02.11.2008 | | Autor: | mangaka |
| Aufgabe | Sei [mm] A \in K^{m \times n} und P_{kl} \in K^{m \times m} (1 \le k, l \le m) [/mm]
a) Zeigen Sie, dass [mm]P_{kl} = A_{III}[/mm], wobei [mm]A_{III}[/mm] aus A durch Vertauschen der k-ten Zeile und der l-ten Zeile entsteht.
b) Zeigen Sie, dass [mm]P_{kl}[/mm] invertierbar ist und
[mm]P_{kl}^{-1} = P_{kl}[/mm] sowie [mm]P_{kl}^T = P_{kl}[/mm]
Verwenden Sie in dieser Aufgabe explizit die Definition [mm]P_{kl} = \pi_{ri}[/mm] mit
[mm] \pi_{ri} = 1[/mm], falls [mm]r=i \ne k [/mm], l oder r=k, i=l oder r=l, i=k
ansonsten: [mm] \pi_{ri}=0 [/mm]
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Hi,
ich bin's mal wieder :D hab' wie immer ein paar fragen.
zunächst aber eine kurze erklärung: [mm] P_{kl} [/mm] ist bei uns in der vorlesung eine elementarmatrix, die dadurch entstanden ist, dass man bei einer einheitsmatrix die k-te mit der l-ten zeile vertauscht hat...
zu a)
in der vorlesung wurde so etwas ähnliches mal bewiesen. da ging's um das multiplizieren einer zeile mit einem faktor [mm] \lambda. [/mm] ich wollte den beweis jetzt analog dazu machen, aber ich kriegs irgendwie net hin. bin nur soweit gekommen:
r=1,..,m
j=1,..,n
[mm]c_{rj} = \sum_{i=1}^{m} \pi_{ri} a_{ij} = [/mm]
C ist hierbei die matrix, die entsteht, wenn man [mm]P_{kl}[/mm] mit der Matrix A multipliziert.
eigentlich muesste irgendwas gescheites nach dem gleich-zeichen kommen. aber dazu muesste man den hinweis in der aufgabe nachvollziehen koennen und das tue ich nicht...
kann einer mir das vllt etwas verständlicher erklären?
b)
hier habe ich nicht einmal einen ansatz.. wahrscheinlich muss hier so ähnlich vorgegangen werden wie bei a), aber wie?
ich freu mich wie immer auf eure antworten!
mfg
mangaka
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 So 02.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo mangaka!
> Sei [mm]A \in K^{m \times n} und P_{kl} \in K^{m \times m} (1 \le k, l \le m) [/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass [mm]P_{kl} = A_{III}[/mm], wobei [mm]A_{III}[/mm] aus A
> durch Vertauschen der k-ten Zeile und der l-ten Zeile
> entsteht.
>
> b) Zeigen Sie, dass [mm]P_{kl}[/mm] invertierbar ist und
> [mm]P_{kl}^{-1} = P_{kl}[/mm] sowie [mm]P_{kl}^T = P_{kl}[/mm]
>
> Verwenden Sie in dieser Aufgabe explizit die Definition
> [mm]P_{kl} = \pi_{ri}[/mm] mit
> [mm]\pi_{ri} = 1[/mm], falls [mm]r=i \ne k [/mm], l oder r=k, i=l oder r=l,
> i=k
> ansonsten: [mm]\pi_{ri}=0[/mm]
>
> Hi,
> ich bin's mal wieder :D hab' wie immer ein paar fragen.
> zunächst aber eine kurze erklärung: [mm]P_{kl}[/mm] ist bei uns in
> der vorlesung eine elementarmatrix, die dadurch entstanden
> ist, dass man bei einer einheitsmatrix die k-te mit der
> l-ten zeile vertauscht hat...
>
> zu a)
> in der vorlesung wurde so etwas ähnliches mal bewiesen. da
> ging's um das multiplizieren einer zeile mit einem faktor
> [mm]\lambda.[/mm] ich wollte den beweis jetzt analog dazu machen,
> aber ich kriegs irgendwie net hin. bin nur soweit
> gekommen:
>
> r=1,..,m
> j=1,..,n
>
> [mm]c_{rj} = \sum_{i=1}^{m} \pi_{ri} a_{ij} =[/mm]
>
> C ist hierbei die matrix, die entsteht, wenn man [mm]P_{kl}[/mm] mit
> der Matrix A multipliziert.
>
> eigentlich muesste irgendwas gescheites nach dem
> gleich-zeichen kommen. aber dazu muesste man den hinweis in
> der aufgabe nachvollziehen koennen und das tue ich
> nicht...
> kann einer mir das vllt etwas verständlicher erklären?
Tipp: zerlege die Summe! Nimm dazu zunächst $k<l$ an und schreibe
[mm]c_{rj} = \sum_{i=1}^{m} \pi_{ri} a_{ij} = \sum_{i=1}^{k-1} \pi_{ri} a_{ij} + \pi_{rk} a_{kj} + \sum_{i=k+1}^{l-1} \pi_{ri} a_{ij} + \pi_{rl} a_{lj} + \sum_{i=l+1}^{m} \pi_{ri} a_{ij} [/mm]
und setze die Definition von [mm] $\pi_{ri}$ [/mm] ein!
(Die Fälle $k=l$ und $k>l$ sind dann ganz einfach.)
> b)
> hier habe ich nicht einmal einen ansatz.. wahrscheinlich
> muss hier so ähnlich vorgegangen werden wie bei a), aber
> wie?
Du musst doch nur zeigen, dass $ [mm] P_{kl}*P_{kl} [/mm] = [mm] \mathbf{1} [/mm] $ ist. Verwende dazu das Ergebnis aus Teil a).
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:15 Mo 03.11.2008 | | Autor: | mangaka |
zu a)
ich hab einiger maßen nachvollziehen koennen, wie du die summe zerlegt hast. die fallunterscheidung ist meiner meinung nach nicht so wichtig, weil [mm]P_{kl} = P_{lk}[/mm] ist.
ich hab versucht ein beispiel mithilfe deiner summen zu berechnen. waere die elementarmatrix [mm]P_{13}[/mm] haette man ein problem:
[mm]
\sum_{i=1}^{k-1} \pi_{ri} a_{ij} +...
[/mm]
muesste
[mm]
\sum_{i=1}^{0} \pi_{ri} a_{ij} +...
[/mm]
sein. das heisst eine summe von 1 bis 0. ergibt nicht viel sinn. eine erklaerung bitte!
zu b) was bedeutet dieses zeichen nach dem gleichheits-zeichen?
mfg
mangaka
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mo 03.11.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> zu a)
> ich hab einiger maßen nachvollziehen koennen, wie du die
> summe zerlegt hast. die fallunterscheidung ist meiner
> meinung nach nicht so wichtig, weil [mm]P_{kl} = P_{lk}[/mm] ist.
> ich hab versucht ein beispiel mithilfe deiner summen zu
> berechnen. waere die elementarmatrix [mm]P_{13}[/mm] haette man ein
> problem:
>
> [mm] \sum_{i=1}^{k-1} \pi_{ri} a_{ij} +... [/mm]
> muesste
>
> [mm] \sum_{i=1}^{0} \pi_{ri} a_{ij} +...[/mm]
> sein. das heisst eine
> summe von 1 bis 0. ergibt nicht viel sinn. eine erklaerung
> bitte!
Kein Problem. Das ist eine leere Sumem, die ist per Definition (des Summenzeichens) 0.
> zu b) was bedeutet dieses zeichen nach dem
> gleichheits-zeichen?
Sorry, hab ich nicht aufgepasst, das soll die Einheitsmatrix sein.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 Mi 05.11.2008 | | Autor: | mangaka |
ok. danke fuer die hilfe
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