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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Zahl [mm] n^{3}+3n^{2}+2n-6 [/mm] für jedes n element von N durch 6 teilbar ist. |
Hallo leute,
ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen denn bei mir gehr es einfach nicht weiter :(....
Also mein Ansatz ist:
Mit vollständiger Induktion
I.A. n=0
0=0
I.B. Für alle n element N gelte [mm] n^{3}+3n^{2}+2n-6=6k, [/mm] k e Z
I.S. n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (n+1)^{3}+3(n+1)^{2}+2(n+1)-6= n^{3}+6^{2}+11n-1
[/mm]
So jetzt komme ich leider nicht weiter...Ich denke ich muss irgendwie eine 6 ausklammern um zu beweisen, dass es durch 6 teilbar ist, oder???
Könnt ihr mir bitte sagen ob mein Ansatz richtig ist und wie ich dann weiter komme oder ob mein ansatz falsch ist...Ich danke euch sehr...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Ja da steh wirklich eine -6
ok ich habe das noch mal richtig ausmultipliziert und bekomme das raus
[mm] (n+1)^{3}+3(n+1)^{2}+2(n+1)-6= n^{3}+3n^{2}+2n+3+3n^{2}+6n+3+2n+2-6 [/mm]
so dann fasse ich zusammen und es kommt
[mm] n^{3}+6n^{2}+10n+2
[/mm]
man kann die doch gar nicht verändern damit [mm] (n)^{3}+3(n)^{2}+2n-6 [/mm] rauskommt.
Oder habe ich einen brett vorm kopf und sehe die lösung nur nicht ?
Übrigens ich habe heute gesehen das wir den Tip n(n+3) ist gerade bekommen haben, verstehe aber nicht wie ich i8hn anwenden kann, wahrscheinlich erst am ende des Is oder ?
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Hallo Mathelady,
> Ja da steh wirklich eine -6
> ok ich habe das noch mal richtig ausmultipliziert und
> bekomme das raus
>
> [mm](n+1)^{3}+3(n+1)^{2}+2(n+1)-6= n^{3}+3n^{2}+2n+3+3n^{2}+6n+3+2n+2-6[/mm]
Hmm, da haste aber komisch ausmultipliziert, ich komme auf
[mm]=n^3+3n^2+\red{3}n+\red{1}+3n^2+6n+3+2n+2-6[/mm]
Und das kannst du doch entsprechend der IV sortieren:
[mm]=(n^3+3n^2+2n-6)+(\ldots)[/mm]
> so dann fasse ich zusammen und es kommt
> [mm]n^{3}+6n^{2}+10n+2[/mm]
> man kann die doch gar nicht verändern damit
> [mm](n)^{3}+3(n)^{2}+2n-6[/mm] rauskommt.
> Oder habe ich einen brett vorm kopf und sehe die lösung
> nur nicht ?
>
> Übrigens ich habe heute gesehen das wir den Tip n(n+3) ist
> gerade bekommen haben, verstehe aber nicht wie ich i8hn
> anwenden kann, wahrscheinlich erst am ende des Is oder ?
Bei der Betrachtung des "Restterms".
Ich würde es aber so machen. Schreibe dir den Restterm hin und faktorisiere ihn, dann zeige, dieser ist durch 3 teilbar (trivial) und durch 2 teilbar (bedenke, dass eine von 2 aufeinanderfolgenden nat. Zahlen gerade ist ...)
Aber wie gesagt, es erklärt sich alles, wenn der Restterm steht 
Gruß
schachuzipus
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So ich habe jetzt eine Lösung bin aber net sicher ob das mathematisch alle richtig ist
Alsoooo:
$ [mm] (n+1)^{3}+3(n+1)^{2}+2(n+1)-6= [/mm] $ [mm] =n^3+3n^2+\red{3}n+\red{1}+3n^2+6n+3+2n+2-6 [/mm] $
$ [mm] =(n^3+3n^2+2n-6)+(3n^{2}+9n+6) [/mm]
[mm] \underbrace_{=6k}
[/mm]
$ [mm] =(n^3+3n^2+2n-6)+3(n^{2}+3n+2) [/mm]
[mm] \underbrace_{=6k}
[/mm]
[mm] 6k+3(n^{2}+3n+2)= [/mm]
n = 2m,da eine von 2 aufeinanderfolgenden nat. Zahlen gerade ist(eine frage reicht das so oder muss ich das noch beweisen?)
6k+3(4m+6m+2)=6k+12m+18m+6
6(k+2m+3m+1)=6k es ist zu sehen beide Seiten sind durch 6 teilbar also in die I.b. wahr.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
[mm] $a_n:=3(n^2+3n+2)= [/mm] 3(n+2)(n+1)$
Es ist entweder n+2 gerade oder n+1 gerade. Damit ist (n+2)(n+1) teilbar durch 2
Durch was ist dann [mm] a_n [/mm] teilbar?
FRED
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Wie meisnt du das? wegen der frage mit dem
n=2m?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Fr 12.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn eine ganze Zahl b durch 2 teilbar ist, dann ist doch 3b teilbar durch 6
Oder nicht ?
FRED
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ahaaaa also kann ich das weg lassen n = 2m,da eine von 2 aufeinanderfolgenden nat. Zahlen gerade ist(eine frage reicht das so oder muss ich das noch beweisen?)
6k+3(4m+6m+2)=6k+12m+18m+6
weil man ja hier schon sieht das sie durch 6 teilbar ist, oder hab ich das jetzt richtig verstanden
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 So 14.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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ahaaaa also kann ich das weg lassen n = 2m,da eine von 2 aufeinanderfolgenden nat. Zahlen gerade ist(eine frage reicht das so oder muss ich das noch beweisen?)
6k+3(4m+6m+2)=6k+12m+18m+6
weil man ja hier schon sieht das sie durch 6 teilbar ist, oder hab ich das jetzt richtig verstanden
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
