Elemente der Ordnung 2 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | Zeigen Sie dass [mm] SL_n(\IZ) [/mm] eine Gruppe ist.
Finden Sie in [mm] SL_n(\IZ) [/mm] Elemente der Ordnung 2. |
Hallo Leute,
hänge etwas bei der Aufgabe, erstmal sollte ich zeigen, dass dies eine Gruppe ist, stand aber nicht dabei mit welcher Verknüpfung, habe deswegen nur die Addition genommen, da dort doch nur Elemente aus [mm] \IZ [/mm] vorkommen und somit nicht für jede Matrix ein Inverses existieren kann oder?
Eine Matrix der Ordnung 2 also [mm] A^2=E_n [/mm] existiert doch gar nicht, aus der Nullmatrix oder?
Danke schonmal!
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Hallo AntonK,
> Zeigen Sie dass [mm]SL_n(\IZ)[/mm] eine Gruppe ist.
>
> Finden Sie in [mm]SL_n(\IZ)[/mm] Elemente der Ordnung 2.
> Hallo Leute,
>
> hänge etwas bei der Aufgabe, erstmal sollte ich zeigen,
> dass dies eine Gruppe ist, stand aber nicht dabei mit
> welcher Verknüpfung,
Na mit der Multiplikation natürlich ...
> habe deswegen nur die Addition
> genommen, da dort doch nur Elemente aus [mm]\IZ[/mm] vorkommen und
> somit nicht für jede Matrix ein Inverses existieren kann
> oder?
Die Matrizen aus [mm]Sl_n(\IZ)[/mm] müssen ja invertierbar sein und Determinante 1 haben.
Nehmen wir [mm]Sl_2(\IZ)[/mm], dann ist zB. [mm]A=B=\pmat{1&0\\
0&1}\in Sl_2(\IZ)[/mm], aber [mm]A+B[/mm] doch nicht ...
Zeige, dass [mm](Sl_n(\IZ),\cdot{})[/mm], wobei "[mm]\cdot[/mm]" die Matrizenmultiplikation meint, eine Gruppe ist
>
> Eine Matrix der Ordnung 2 also [mm]A^2=E_n[/mm] existiert doch gar
> nicht, aus der Nullmatrix oder?
Mit der neuen Info über die gemeinte Verknüpfung denke darüber nochmal nach ...
>
> Danke schonmal!
>
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Assoziativität und neutrales Element ist mir klar, aber wenn ich z.B. ein Inverses zur Multiplkation finden möchte, kann es doch ganz schnell passieren, dass ich Elemente in der Matrix habe, die Brüche sind, also nicht in [mm] \IZ [/mm] erhalten. Wobei, wenn ich darüber nachdenke und z.B. die Formel für die Determinantenberechnung einer 2x2-Matrix ansehe und dort unter dem Bruchstrich die Determinante stehen habe, die ja gleich 1 ist, könnte es denoch passen. Gilt das auch allgemein, dass man durch die Determinante teilt, also auch für größere Matrizen?
Das mit dem Element der Ordnung 2 habe ich aber immer noch nicht geknackt, dort würde mir nur die Einheitsmatrix einfallen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:44 Fr 31.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das gilt auch für größere Matrizen. Du teilst immer durch die Determinant, die ja 1 ist und hast noch eine Matrix, die als Einträge irgendwelche Summen und Produkte von Elementen in [mm] \IZ [/mm] hat.
Für die andere Aufgabe mache den Ansatz [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] und rechne [mm] A^2 [/mm] aus. Oder [mm] A=A^{-1}. [/mm] Dabei musst du die Einheitsmatrix aber herausnehmen, da diese die Ordnung 1 hat.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
[mm] A^2= \begin{pmatrix}
a^2+bc & ab+bd \\
ac+cd & bc+d^2
\end{pmatrix}
[/mm]
Somit also:
1. [mm] a^2+bc=1
[/mm]
2. ab+bd=0
3. ac+cd=0
4. [mm] bc+d^2=1
[/mm]
Ich setze mal ineinander ein:
4. [mm] bc=1-d^2 [/mm] => [mm] 1.a^2+1-d^2=1 [/mm] => [mm] a^2-d^2=0
[/mm]
Dies gilt nur, wenn a=d=0 ist.
B= [mm] \begin{pmatrix}
0 & y \\
z & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] B^2= \begin{pmatrix}
xy & 0 \\
0 & xy
\end{pmatrix}
[/mm]
=> da wir ins [mm] \IZ [/mm] sind, muss x=y=1 gelten, sprich die Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{pmatrix}^2=E_2
[/mm]
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Fr 31.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Hm ne, leider nicht. Vielleicht war der Hinweis mit dem [mm] A^2 [/mm] ausrechnen auch etwas doof, mit [mm] A=A^{-1} [/mm] geht es viel einfacher, weil du für [mm] A^{-1} [/mm] ja die Formel kennst.
Aber ich mache es mal mit [mm] A^2=E_2:
[/mm]
Zuerst mal liegt [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] nicht in [mm] SL_2(\IZ), [/mm] weil die Determinante -1 ist. Dein Rechenweg ist ansich aber richtig, du hast nur 2 weitere Lösungen von [mm] a^2-d^2=0 [/mm] nicht beachtet: a=d=1 und a=d=-1. Damit kommst du zu deinen Lösungen für den Fall n=2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Bin heute etwas neben der Kapp, sorry, natürlich, das sehe ich ein. Vielen Dank!
Noch eine Sache dazu, ich soll zeigen, dass [mm] SL_2(\IZ/3\IZ) [/mm] eine Gruppe ist. Ich bin etwas verwirrt, da [mm] \IZ/3\IZ=(3\IZ, 1+3\IZ, 2+3\IZ) [/mm] ist und somit doch alle Elemente dort vorkommen, was ist der Haken an der Sache?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Fr 31.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Na du musst doch auch nur wieder die Gruppeneigenschaften nachweisen, oder? Genau wie in [mm] \IZ. [/mm] Nur, dass du diesmal nur die Zahlen 0,1,2 in [mm] \IZ/3\IZ [/mm] hast.
Im Allgemeinen ist [mm] SL_n(\IK) [/mm] für jeden Körper [mm] \IK [/mm] eine Gruppe. Und [mm] \IZ/3\IZ [/mm] ist ein Körper. Darfst du vielleicht so argumentieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Darf ich leider noch nicht benutzen, hatten wir so nicht. Aber die Axiome nachweise ist ja nicht besonders schwer.
Also bestehen die Matrien nur aus 0,1,2, alles klar, das ist dann ziemlich simpel, vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:34 Fr 31.08.2012 | | Autor: | Teufel |
Genau, aber du brauchst nicht einmal das genaue Aussehen der Einträge. Bei [mm] \IZ [/mm] war es ja auch recht einfach, obwohl du da unendlich viele Zahlen hattest. :) Also der genauere Ring (der eine 1 haben und kommutativ sein sollte) ändert nichts an dem Beweis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Moment, ich bin jetzt kurz nochmal gestolpert, wenn nun a=d=1 sein muss, dann ist ja 1b+b1=0 und somit wären b und c ebenfalls 0, wodruch ich doch die Einheitsmatrix habe und die hat ja sowiese die Ordnung 2, die muss ich dann doch rausnehmen oder? Mit -1 geht es natürlich aber doch nicht mit 1 oder?
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Du hast hier glaube ich noch einen kleinen Denkfehler drinn:
Die Einheitsmatrix hat NICHT Ordnung 2.
Die Ordnung deiner Matrix $A$ ist nach Definition die kleinste natürliche Zahl $k$, die [mm] $A^k [/mm] = E$ erfüllt (oder unendlich, wenn eine solche nicht exisitert).
Die Einheitsmatrix erfüllt [mm] $E^1 [/mm] = E$, somit hat sie Ordnung 1, nicht Ordnung 2.
Für ein Element der Ordnung 2 ist also zu zeigen:
1. [mm] $A^2 [/mm] = E$
2. [mm] $A^1 \neq [/mm] E$
Und ja, aufgrund dieser Tatsache musst du die Einheitsmatrix ausschließen und dir bleibt das negative der Einheitsmatrix.
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moin,
Falls du Interesse hast dich noch ein wenig mit dem Thema zu beschäftigen:
Es gibt in [mm] $SL_2(\IZ)$ [/mm] genau ein Element der Ordnung 2.
Wenn du Lust drauf hast kannst du versuchen das zu beweisen.
Ein Element der Ordnung 2 zu finden sollte machbar sein; zu zeigen, dass es auch wirklich nur eins gibt ist hingegen ganz interessant.
lg
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Das Element ist doch einfach:
[mm] \begin{pmatrix}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{pmatrix}
[/mm]
Ist das korrekt?
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Hallo nochmal,
> Das Element ist doch einfach:
>
> [mm] \begin{pmatrix} -1 & 0 \\
0 & -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das korrekt?
Ja, aber sowas brauchst du doch nicht zu fragen, das kannst du doch selber überprüfen/ausrechnen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Fr 31.08.2012 | | Autor: | AntonK |
Wie zeigt man eine Eindeutigkeit in so einem Fall? Ich müsste ja irgendwie zeigen, dass die Einträge a=-1, b=0, c=0 und d=-1 eindeutig sind, sprich ich wähle mir eine Matrix mit Einträgen a',b',c',d' und zeige, dass diese gleich a,b,c,d sind oder?
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Nun, da gibt es sicher eine ganze Reihe von Möglichkeiten.
Stellst du auf diese Art ein Gleichungssystem auf könntest du zu einer Lösung kommen.
Ich hatte aber einen anderen Weg im Kopf:
Sei $A$ eine Matrix in [mm] $SL_2(\IZ)$ [/mm] der Ordnung 2, also es gelte [mm] $A^2 [/mm] = E$ oder anders [mm] $A^2-E [/mm] = 0$.
Schreibt man dies als Polynom so erhält man das Polynom $p = [mm] x^2-1$.
[/mm]
Es ist nun also $p(A) = 0$.
Was kannst du aus dieser Info (ggf. mit ein wenig Wissen aus der Linearen Algebra) alles anfangen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:40 Sa 01.09.2012 | | Autor: | SEcki |
> Was kannst du aus dieser Info (ggf. mit ein
> wenig Wissen aus der Linearen Algebra) alles anfangen?
Das schöne ist, dass die Aussage für [mm] $SL_2(K)$ [/mm] mit beliebigen Körper mit [m]1\neq -1[/m] gilt.
SEcki
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> > Was kannst du aus dieser Info (ggf. mit ein
> > wenig Wissen aus der Linearen Algebra) alles anfangen?
>
> Das schöne ist, dass die Aussage für [mm]SL_2(K)[/mm] mit
> beliebigen Körper mit [m]1\neq -1[/m] gilt.
Sogar für jeden Integritätsbereich mit $1 [mm] \neq [/mm] -1$ xD
> SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Sa 01.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Was kannst du aus dieser Info (ggf. mit ein
> > wenig Wissen aus der Linearen Algebra) alles anfangen?
>
> Das schöne ist, dass die Aussage für [mm]SL_2(K)[/mm] mit
> beliebigen Körper mit [m]1\neq -1[/m] gilt.
In Charakteristik 2 ist es dagegen nicht eindeutig, es gibt noch die Familien [mm] $\pmat{ 1 & 0 \\ a & 1 }$, $\pmat{ 1 & a \\ 0 & 1 }$, $\pmat{ b & c \\ \frac{1 + b^2}{c} & b }$ [/mm] fuer $a [mm] \in [/mm] K$, $b [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus \{ 1 \}$, [/mm] $c [mm] \in K^\ast [/mm] = K [mm] \setminus \{ 0 \}$, [/mm] und dies sind gerade alle Loesungen. Damit gibt es mindestens 4 Matrizen $A [mm] \in SL_2(K)$ [/mm] mit [mm] $A^2 [/mm] = [mm] E_2$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Sa 01.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Nunja, dass es nur maximal 2 Lösungen für [mm] x^2-1 [/mm] gibt, eben 1 und -1, aber 1 kommt nicht in Frage, verstehe aber nicht, das ist aber noch kein Beweis für eine Eindeutigkeit wenn ich mit dem Polynom argumentiere oder?
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> Nunja, dass es nur maximal 2 Lösungen für [mm]x^2-1[/mm] gibt,
> eben 1 und -1, aber 1 kommt nicht in Frage, verstehe aber
> nicht, das ist aber noch kein Beweis für eine
> Eindeutigkeit wenn ich mit dem Polynom argumentiere oder?
Nein, noch lange nicht.
Kennst du aus der Linearen Algebra gewisse Polynome die, wenn du eine Matrix in sie einsetzt, 0 ergeben?
Überlege dir mal was du über Polynome (insgesamt sind es zwei um die es hier geht) von Matrizen weißt und wie dir dieses Wissen hier helfen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:37 Sa 01.09.2012 | | Autor: | AntonK |
Ich glaube das führt mich jetzt zu weit, weiß nicht welche Polynome du meinst, ich mach lieber mal mit meinen anderen Aufgaben weiter, dennoch ein großes Dankeschön!
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