# Elemente einer Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:53 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo Matheraum,
ist es richtig, dass die kleinst mögliche Gruppe 3 Elemente besitzt? Es müssen schließlich 0 und 1 enthalten sein, und um bei der Addition mit 1 auf das enutrale Element der Addition zu kommen muß dann doch auch noch die -1 in der Gruppe sein, oder?!
Außerdem ist noch die Frage wieviele Elemente G hat, so dass für alle a,b [mm] \in [/mm] G gilt:
[mm] a\*b\*a\*b^{-1}\*a^{-1}\*b^{-1}=e [/mm] (e ist das neutrale Element)
Ich kann das doch umstellen zu [mm] a\*b^{-1}=e
[/mm]
daraus folgt nach den Gruppeneigenschaften dass a=b.
Folgt daraus, dass diese Gruppe ebenfalls nur 3 Elemente hat, mit der Begründung von oben?
Wäre schön wenn ihr meine Gedanken kurz prüfen könntet.
MfG,
Olek
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Hallo,
also es gibt auch eine Gruppe mit Ordnung 1, z.B. (G,°) mit G={e} und e°e=e natürlich bis auf Isomorphie.
Dann gibt es analog auch Gruppen der Ordnung 2,3 und 4 (Klein'sche Vierergruppe). Um die Abgeschlossenheit zu zeigen, macht man sich immer Verknüpfungstafeln. Bei (H,°) mit H={e,a} ist das
° e a
e e a
a a e
Alles klar?
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mi 09.11.2005 | | Autor: | Olek |
Hallo,
ich habe auch schon überlegt, ob es vielleicht eine Gruppe mit nur einem Element gibt. Dein Beispiel: (G,°) versteh ich nicht ganz. Wofür steht der Kringel? Ist es nicht etwas ungenau wenn ich sage dass e das einige Element der Gruppe ist? Schließlich ist e doch bei der Multiplikation 1 und bei der Addition 0. Also muß ich schon 2 Elemente in der Gruppe haben. Oder betrachte ich nur eine Gruppe entweder mit Addition oder mit Multiplikation?
MfG,
Olek
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Hallo Olek!
> Hallo,
> ich habe auch schon überlegt, ob es vielleicht eine Gruppe
> mit nur einem Element gibt. Dein Beispiel: (G,°) versteh
> ich nicht ganz. Wofür steht der Kringel?
Der Kringel ist die zur Gruppe gehörige Verknüpfung.
> Ist es nicht etwas
> ungenau wenn ich sage dass e das einige Element der Gruppe
> ist? Schließlich ist e doch bei der Multiplikation 1 und
> bei der Addition 0. Also muß ich schon 2 Elemente in der
> Gruppe haben. Oder betrachte ich nur eine Gruppe entweder
> mit Addition oder mit Multiplikation?
Zu einer Gruppe gehört immer eine Verknüpfung. Das kann - z.B. im Fall [mm] $G=\IZ$ [/mm] - die Addition sein, oder, z.B. im Fall [mm] $G=\IR\setminus\{0\}$ [/mm] - die Multiplikation. Addition und Multiplikation unterscheiden kannst du aber eigentlich nur bei Körpern.
Als Tipp: Versuch dich bei der Betrachtung von Gruppen soweit wie möglich von deiner Vorstellung von $+$ und [mm] $\cdot$ [/mm] zu lösen. Auf der Menge [mm] $\{0;1\}$ [/mm] kannst du z.B. eine Addition auf folgende Weise definieren: [mm] $0\oplus [/mm] 0=0,\ [mm] 1\oplus 0=0\oplus [/mm] 1=0$ - soweit noch alles wie gewohnt - und [mm] [red]$1\oplus [/mm] 1=0$[/red].
Anders ausgedrückt: Du kannst dir eine Addition definieren, die ganz anders ist, als die, die man in der Schule lernt!
Nun zu deiner Frage, welche Gruppe [mm] $a*b*a*b^{-1}*a^{-1}b^{-1}=e$ [/mm] für alle [mm] $a,b\in [/mm] G$ erfüllt: Benutze hierbei, dass diese Gleichung auch für $b=e$ erfüllt sein muss...
Ist dir das ganze jetzt ein bisschen klarer? Sonst frag ruhig nochmal nach...
Gruß, banachella
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